Enunciado

7. Seja a != 0 uma constante. Verifique que

int (1)/(a^2 + x^2) d x = (1)/(a) tan^(- 1) ((x)/(a)) + k

Passo 1

Podemos perceber que essa integral se assemelha com a integral int (1)/(1 + x^2) d x = tan^(- 1) x + k . Vamos tentar arrumar a integral que nós temos para que as duas fiquem iguais. Para isso, primeiro vamos tentar transformar o termo a^2 em 1. Logo, vamos dividir o numerador e o numerador por a^2 .

int (1)/(a^2 + x^2) d x = int (((1)/(a^2)))/(((a^2 + x^2)/(a^2))) d x = int ((1)/(a^2))/((a^2)/(a^2) + (x^2)/(a^2)) d x = (1)/(a^2) int (1)/(1 + ((x)/(a))^2) d x

Passo 2

Já está bem parecida. No entanto, para melhorar, vamos fazer u = (x)/(a) ⟹ d u = (d x)/(a) . Assim,

(1)/(a^2) int (1)/(1 + ((x)/(a))^2) d x = (1)/(a) int (1)/(1 + ((x)/(a))^2) (d x)/(a) = (1)/(a) int (1)/(1 + u^2) d u = (1)/(a) tan^(- 1) u + k = (1)/(a) tan^(- 1) ((x)/(a)) + k

Portanto, verificamos que

int (1)/(a^2 + x^2) d x = (1)/(a) tan^(- 1) ((x)/(a)) + k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c
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