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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8c

8. Calcule

c)

int (1)/(2 + 5 x^2) d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int (1)/(2 + 5 x^2) d x

Deixa eu te lembrar uma integral:

int (d u)/(1 + u^2) = arct g (u) + C

Viu que ta parecido? Então vamos mexer um pouco pra ficar igualzinho!

Passo 2

O termo que queremos integrante é o seguinte:

E = (1)/(2 + 5 x^2)

Lá no passo 1, vemos que o denominador é 1 + u^2 . Então vamos colocar o 2 em evidencia!

E = (1)/(2 (1 + + (5)/(2) x^2))

Então nossa integral fica da seguinte forma:

I = int (1)/(2 (1 + + (5)/(2) x^2)) d x

Tirando o 2 da integral:

I = (1)/(2) int (1)/((1 + + (5)/(2) x^2)) d x

Passo 3

Agora é só fazermos a seguinte troca:

u^2 = (5)/(2) x^2 -> u = x sqrt((5)/(2))

Derivando,

d u = d x sqrt((5)/(2)) -> d x = d u sqrt((2)/(5))

Então a integral fica assim ó:

I = (1)/(2) sqrt((2)/(5)) int (1)/((1 + + u^2)) d u

Usando o resultado do Passo 1:

I = (1)/(2) sqrt((2)/(5)) a r c t g (u) + k

Voltando para variável x :

u = x sqrt((5)/(2))

Portanto,

I = (1)/(2) sqrt((2)/(5)) a r c t g (x sqrt((5)/(2))) + k

Racionalizando:

I = (sqrt(10))/(10) a r c t g ((x sqrt(10))/(2)) + k

Resposta

int (1)/(2 + 5 x^2) d x = (sqrt(10))/(10) a r c t g ((x sqrt(10))/(2)) + k

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