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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 48

Se u e v são as funções vetoriais do Exercício 45, use a Fórmula 5 do Teorema 3 para encontrar

d d t [ u t × v t ]

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar nessa resolução.

As funções são as seguintes:

u t = ( s e n   t , cos ⁡ t ,   t )

E

v t = ( t , cos ⁡ t ,   s e n   t )

A Fórmula 5 do Teorema 3 nos diz que:

d d t u t × v t = u ' t × v t + u t × v ' ( t )

Então deveremos encontrar a derivada das nossas funções vetoriais, e sem seguida deveremos realizar o produto vetorial e somar esses produtos.

Passo 2

Para o fator u ' t × v t , temos o seguinte:

u t = ( s e n   t , cos ⁡ t ,   t )

Derivando:

u ' t = cos ⁡ t ,   - s e n   t ,   1

Como v t = ( t , cos ⁡ t ,   s e n   t ) , agora é só fazer o produto vetorial, olha só:

u ' t × v t = ( cos ⁡ t ,   - s e n   t ,   1 ) × ( t , cos ⁡ t ,   s e n   t )

Assim,

u ' t × v t = i j k cos ⁡ t - s e n   t 1 t cos ⁡ t s e n   t

Logo,

u ' t × v t = [ ( - s e n 2 t - cos ⁡ t ) i + ( t - s e n   t cos ⁡ t ) j + ( cos 2 ⁡ t + t   s e n   t ) k ]

Passo 3

Agora vamos ver como fica o termo u t × v ' ( t )

v t = ( t , cos ⁡ t ,   s e n   t )

Derivando,

v ' t = ( 1 , - s e n   t , cos ⁡ t )

Mas a gente sabe que u t = ( s e n   t , cos ⁡ t ,   t ) , então o produto vetorial fica assim ó:

u t × v ' t = ( s e n   t , cos ⁡ t ,   t ) × ( 1 ,   - s e n   t , cos ⁡ t )

Montando o determinante, temos:

u t × v ' t = i j k s e n   t cos ⁡ t t 1 - s e n   t cos ⁡ t

Resolvendo, temos:

u t × v ' t = ( cos 2 ⁡ t + t   s e n   t ) i + ( t - s e n t cos ⁡ t ) j + ( - s e n 2 t - cos ⁡ t ) k

Passo 4

Pra finalizar, basta voltarmos pra equação do Passo 1 :

d d t u t × v t = u ' t × v t + u t × v ' ( t )

Dos Passos 2 e 3 :

u ' t × v t = [ ( - s e n 2 t - cos ⁡ t ) i + ( t - s e n   t cos ⁡ t ) j + ( cos 2 ⁡ t + t   s e n   t ) k ]

u t × v ' t = ( cos 2 ⁡ t + t   s e n   t ) i + ( t - s e n t cos ⁡ t ) j + ( - s e n 2 t - cos ⁡ t ) k

Somando, temos:

d d t u t ⋅ v t = [ cos 2 ⁡ t - s e n 2 t - cos ⁡ t + t   s e n   t ) ,   ( 2 t - 2   s e n   t cos ⁡ t ) ,   ( cos 2 ⁡ t - s e n 2 t - cos ⁡ t + t   s e n   t )

Resposta

d d t u t × v t = ( cos 2 ⁡ t - s e n 2 t - cos ⁡ t + t   s e n   t ) i + ( 2 t - 2   s e n   t cos ⁡ t ) j + ( cos 2 ⁡ t - s e n 2 t - cos ⁡ t + t   s e n   t ) k

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