Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 50
Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição (t) esta sempre perpendicular ao vetor tangente , mostre que essa curva está em uma esfera com centro na origem.
Passo 1
Eai! Tudo tranquilo? 😊
Pronto para uma questão de demonstração?
Temos que entender o que está sendo pedido para que assim possamos criar uma estratégia de resolução. Temos que lembrar também qualquer informação sobre o tema, como teoremas e relações trigonométricas por exemplo.
Neste caso temos que começar lembrando que vetores quando são perpendiculares, seu produto escalar sempre sará zero!!!
Pronto para iniciar?
Passo 2
Já sabemos que se o vetor posição é sempre perpendicular ao vetor tangente , temos
Podemos utilizar o Teorema 3 da Fórmula 4, que nos diz
A partir desse teorema podemos aplicar no produto entre os vetores
Passo 3
Aplicamos a regra do produto, .
Sendo assim,
Podemos concluir então que
Passo 4
Como relacionar esta demonstração a uma esfera?
Vamos aos detalhes! 😊
Vamos lembrar que a condição implica que:
Queremos mostrar que a curva está contida em uma esfera e que o centro pode ser . A equação geral de uma esfera com centro e raio é dada por:
Passo 5
Agora vamos considerar a norma ao quadrado do vetor posição , que é .
Como a derivada da norma resultou em zero, A curva está contida em uma superfícia esférica com centro da origem, cujo raio é .
Resposta
Concluímos que ela só pode estar numa esfera com centro na origem e raio .