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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 4

Calcule a integral.

int cos^2 3 x d x

Passo 1

Sendo a nossa integral:

int co s^2 3 x d x

Podemos usar a identidade trigonométrica que diz co s^2 x = (1 + cos 2 x)/(2) :

Então se x = 3 x :

int cos^2 3 x d x = int (1 + cos 2 . ( 3 x ))/(2) d x

Retirando a constante de dentro da integral, temos:

int cos^2 3 x d x = (1)/(2) int ( 1 + cos 6 x ) d x

Podemos separar a integral em:

int cos^2 3 x d x = (1)/(2) int d x + (1)/(2) int cos 6 x d x

Teremos:

int cos^2 3 x d x = (1)/(2) x + (1)/(2) int cos 6 x d x

A integral que restou, faremos integração por substituição com u d u .

Vamos chamar :

u = 6 x

d u = 6 d x

(d u)/(6) = d x

Entãom resolvendo por meio de substituição:

int cos 6 x d x = int (cos u d u)/(6) = (1)/(6) sen u + C

Substituindo u = 6 x :

int cos 6 x d x = (1)/(6) sen 6 x + C

Retornando para a integral principal:

int cos^2 3 x d x = (1)/(2) x + (1)/(2) [(1)/(6) sen 6 x] + C

Reorganizando:

int cos^2 3 x d x = (x)/(2) + (1)/(12) sen 6 x + C

Resposta

int cos^2 3 x d x = (x)/(2) + (1)/(12) sen 6 x + C

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