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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 8

Calcule a integral usando integração por partes

int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = sen (3 x) => d u = cos (3 x) (3) d x => d u = 3 c o s ( 3 x ) d x,

d v = e^(( - 2 x )) => v = - (1)/(2) e^(( - 2 x ))

Sabemos que,

int u d v = u v - int v d u

Sendo assim,

=> int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x

= sen (3 x) (- (1)/(2) e^((- 2 x))) - int - (1)/(2) e^(( - 2 x )) ( 3 c o s ( 3 x ) ) d x

Usando a propriedade de integrais de retirada da constante,

= - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) + (3)/(2) int e^(( - 2 x )) c o s ( 3 x ) d x

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar a constante C ao final.

Passo 2

Utilizando integração por partes novamente, suponha

u = c o s (3 x) => d u = - 3 s e n ( 3 x ) d x ,

d v = e^(( - 2 x )) => v = - (1)/(2) e^(( - 2 x ))

Sendo assim,

=> int e^(( - 2 x )) c o s ( 3 x ) d x = c o s (3 x) (- (1)/(2) e^((- 2 x))) - int - (1)/(2) e^((- 2 x)) . ( - 3 sen (3 x) ) d x

= - (1)/(2) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(2) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x

Logo,

int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) + (3)/(2) [- (1)/(2) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(2) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x]

= - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(4) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) - (9)/(4) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x

Assim,

int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(4) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) - (9)/(4) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x

=> int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x + (9)/(4) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(4) c o s (3 x) (e^((- 2 x)))

=> (13)/(4) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(4) c o s (3 x) (e^((- 2 x)))

Multiplicando a igualdade por 2

=> (13)/(2) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = - sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(2) c o s (3 x) (e^((- 2 x)))

=> int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = (2)/(13) [- sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(2) c o s (3 x) (e^((- 2 x)))]

=> int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = (1)/(13) [- 2 sen (3 x) (e^((- 2 x))) - 3 c o s (3 x) (e^((- 2 x)))]

Portanto,

int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = (1)/(13) [- 2 sen (3 x) (e^((- 2 x))) - 3 c o s (3 x) (e^((- 2 x)))] + C

Resposta

int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = (1)/(13) [- 2 sen (3 x) (e^((- 2 x))) - 3 c o s (3 x) (e^((- 2 x)))] + C

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