Calcule a integral usando integração por partes int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x Passo 1Utilizando integração por partes, suponha u = sen (3 x) => d u = cos (3 x) (3) d x => d u = 3 c o s ( 3 x ) d x, d v = e^(( - 2 x )) => v = - (1)/(2) e^(( - 2 x )) Sabemos que, int u d v = u v - int v d u Sendo assim, => int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x = sen (3 x) (- (1)/(2) e^((- 2 x))) - int - (1)/(2) e^(( - 2 x )) ( 3 c o s ( 3 x ) ) d x Usando a propriedade de integrais de retirada da constante, = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) + (3)/(2) int e^(( - 2 x )) c o s ( 3 x ) d x Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar a constante C ao final. Passo 2Utilizando integração por partes novamente, suponha u = c o s (3 x) => d u = - 3 s e n ( 3 x ) d x , d v = e^(( - 2 x )) => v = - (1)/(2) e^(( - 2 x )) Sendo assim, => int e^(( - 2 x )) c o s ( 3 x ) d x = c o s (3 x) (- (1)/(2) e^((- 2 x))) - int - (1)/(2) e^((- 2 x)) . ( - 3 sen (3 x) ) d x = - (1)/(2) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(2) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x Logo, int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) + (3)/(2) [- (1)/(2) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(2) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x] = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(4) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) - (9)/(4) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x Assim, int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(4) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) - (9)/(4) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x => int e^(- 2 x) s e n ( 3 x ) d x + (9)/(4) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(4) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) => (13)/(4) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = - (1)/(2) sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(4) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) Multiplicando a igualdade por 2 => (13)/(2) int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = - sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(2) c o s (3 x) (e^((- 2 x))) => int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = (2)/(13) [- sen (3 x) (e^((- 2 x))) - (3)/(2) c o s (3 x) (e^((- 2 x)))] => int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = (1)/(13) [- 2 sen (3 x) (e^((- 2 x))) - 3 c o s (3 x) (e^((- 2 x)))] Portanto, int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = (1)/(13) [- 2 sen (3 x) (e^((- 2 x))) - 3 c o s (3 x) (e^((- 2 x)))] + C Resposta int e^((- 2 x)) sen (3 x) d x = (1)/(13) [- 2 sen (3 x) (e^((- 2 x))) - 3 c o s (3 x) (e^((- 2 x)))] + C MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados1-38 Calcule a integral.32.int_0^((sqrt(3))/(2)) a r c s e n x d x39-42 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.39- O principal objetivo da integração por partes é escolher u e dv para obter um novo integrando que seja mais fácil d1-38 Calcule a integral31-int_0^(pi) x s e n 2 x d x1-38 Calcule a integral27-int_0^2 x e^(2 x) d x1-38 Calcule a integral33-int_2^4 a r c s e c sqrt(theta) d thetaVer TambémVer Livro Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)Ver tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Integração por PartesVer exercício 4.5 - 89aVer exercício 8.Exercícios Práticos - 15