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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 20

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Para iniciar o exercício, pode-se reescrever a integral, tal que:

∫ t g 4 x d x = ∫ s e n 4 x cos 4 ⁡ x d x

Como s e n 2 x = 1 - c o s 2 x :

I = ∫ s e n 2 x 1 - c o s 2 x cos 4 ⁡ x d x = ∫ s e n 2 x - s e n 2 x   c o s 2 x cos 4 ⁡ x d x

I = ∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x - ∫ s e n 2 x c o s 2 x d x

I = ∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x - ∫ 1 - c o s 2 x c o s 2 x d x

Portanto:

I = ∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x - ∫ s e c 2 x   d x + ∫ 1 d x

Passo 2

A primeira integral pode ser resolvida por substituição usando u = t g x e d u = s e c 2 x :

∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x = ∫ u 2 d u = u 3 3

Logo:

∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x = t g 3 x 3

Enquanto que as outras duas integrais podem ser resolvidas diretamente. Então:

I = ∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x - ∫ s e c 2 x   d x + ∫ 1 d x

I = t g 3 x 3 - t g x + x + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Resposta

t g 3 x 3 - t g x + x + C

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