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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 25

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Para iniciar o exercício, pode-se fazer uma substituição simples usando u = 3 x e d u = 3 d x , tal que:

I = ∫ cos 6 ⁡ u   d u 3 = 1 3 ∫ cos 6 ⁡ u d u

Lembrando da identidade trigonométrica

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Tem-se:

I = 1 3 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 3 d u

Que, expandida, se dá por:

I = 1 24 ∫ 1 + 3 cos ⁡ 2 u + 3 cos 2 ⁡ 2 u + cos 3 ⁡ 2 u   d u

Passo 2

Os dois primeiros termos podem ser resolvidos pela integração direta, enquanto que o terceiro termo pode ser resolvido usando a identidade trigonométrica dada anteriormente e o termo restante pode ser resolvidos através da identidade:

c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Logo, reescrevendo a equação:

I = 1 24 ∫ 1 + 3 cos ⁡ 2 u + 3 1 + cos ⁡ 4 u 2 + cos ⁡ 2 u 1 - s e n 2 2 u d u

Realizando as distributivas e juntando os termos semelhantes, obtém-se:

I = 1 24 ∫ 5 2 + 4 cos ⁡ 2 u + 3 2 cos ⁡ 4 u - cos ⁡ 2 u s e n 2 2 u d u

Agora, pode ser aplicada uma outra substituição ao último termo dessa integral, onde v = s e n 2 u e d v = 2 cos ⁡ 2 u d u . Logo:

I = 1 24 ∫ 5 2 + 4 cos ⁡ 2 u + 3 2 cos ⁡ 4 u d u - 1 24 ∫ v 2 d v 2

I = 1 24 5 2 x + 2 s e n 2 u + 3 8 s e n 4 u - 1 48 v 3 3

Ou seja:

I = 1 24 5 2 x + 2 s e n 2 u + 3 8 s e n 4 u - 1 144 s e n 3 2 u

Passo 3

Com isso, as seguintes identidades trigonométricas devem ser usadas:

s e n 4 x = 2 s e n 2 x cos ⁡ 2 x

E

s e n 2 x = 2 s e n x   c o s x

Então:

I = 1 24 5 2 x + 4 s e n u   c o s u + 3 4 s e n 2 u cos ⁡ 2 u - 1 144 2 s e n u   c o s u 3

I = 1 24 5 2 x + 4 s e n u   c o s u + 3 2 s e n u   c o s u 2 c o s 2 u - 1 - 1 144 8 s e n 3 u   c o s 3 u

Juntando os termos semelhantes e fazendo a distribuitiva:

I = 5 48 x + 5 48 c o s u   s e n u + 3 24 c o s 3 u   s e n u - 1 1 8 c o s 3 u 1 - c o s 2 u s e n u

I = 5 48 x + 5 48 c o s u   s e n u + 3 24 c o s 3 u   s e n u - 1 1 8 c o s 3 u   s e n u + 1 18 cos 5 ⁡ u   s e n u

I = 5 48 x + 5 48 c o s u   s e n u + 5 72 c o s 3 u   s e n u + 1 18 cos 5 ⁡ u   s e n u + C

Passo 4

Por fim, retornando a variável original, tem-se:

I = 5 48 x + 5 48 cos ⁡ 3 x   s e n 3 x + 5 72 c o s 3 3 x   s e n 3 x + 1 18 cos 5 ⁡ 3 x   s e n 3 x + C

Resposta

5 48 x + 5 48 cos ⁡ 3 x   s e n 3 x + 5 72 c o s 3 3 x   s e n 3 x + 1 18 cos 5 ⁡ 3 x   s e n 3 x + C

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( a ) Use a Fórmula ( 9 ) da Seção 7.2 para mostrar que ∫ 0 π 2 sin n ⁡ xd x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x ( n ≥ 2 ) ( b ) Use esse resultado para deduzir as fórmulas de Wallis para o seno ∫ 0 π
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Calcule a integral. ∫ s e n 25 θ d θ
Calcule a integral. ∫ s e n 3 2 x cos 2 ⁡ 2 x d x
Calcule a integral. ∫ s e n 4 2 x d x