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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 24

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Lembrando da identidade trigonométrica:

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Tem-se:

I = 48 ∫   1 - c o s ² x cos 4 ⁡ x d x

I = 48 ∫ cos 4 ⁡ x d x - ∫ cos 6 ⁡ x d x

Passo 2

Lembrando da outra identidade trigonométrica dada por:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Tem-se:

I = 48 ∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2 2 d x - ∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2 3 d x

I = 48 1 4 ∫ 1 + 2 cos ⁡ 2 x + c o s 2 2 x d x - - 1 8 ∫ 1 + 3 cos ⁡ 2 x + 3 c o s 2 2 x + c o s 3 2 x d x

É possível juntar termos semelhantes e expandir termos com expoentes. Logo:

I = 12 ∫ 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x - 1 2 1 + c o s 4 x 2 d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x 1 - s e n 2 2 x d x

I = 12 ∫ 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x - 1 4 - cos ⁡ 4 x 4 d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x s e n 2 2 x d x

Novamente, fazendo a junção de termos:

I = 12 ∫ 1 4 - cos ⁡ 4 x 4 d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x s e n 2 2 x d x

Passo 3

A primeira integral pode ser resolvida diretamente:

I 1 = 1 4 x - s e n 4 x 16 + C

Para a segunda integral, pode-se aplicar o método da substituição onde u = s e n 2 x e d u = 2 cos ⁡ 2 x d x :

I 2 = 1 2 ∫ u 2 d u 2 = 1 4 u 3 3

Tal que, retornando para a variável x tem-se:

I 2 = 1 12 s e n 3 2 x

Passo 4

Portanto, juntando os dois resultados obtém-se:

I = 12 1 4 x - s e n 4 x 16 + 1 12 s e n 3 2 x + C

Agora, utilizando as identidades trigonométricas:

s e n 4 x = 2 s e n 2 x cos ⁡ 2 x

s e n 2 x = 2 s e n x   c o s x

E

cos ⁡ 2 x = 2 c o s 2 x - 1

Pode-se rescrever a integral:

I = 3 x - 3 4 2 s e n 2 x cos ⁡ 2 x + 2 s e n x   c o s x 3

I = 3 x - 3 2 2 s e n x   c o s x 2 c o s 2 x - 1 + 8 s e n 3   c o s 3 x

Assim,

I = 3 x - 6 c o s 3 x   s e n x + 3 s e n x   c o s x + 8 c o s 3 x 1 - c o s 2 x s e n x

I = 3 x - 6 c o s 3 x   s e n x + 3 s e n x   c o s x + 8 c o s 3 x   s e n x - 8 cos 5 ⁡ x s e n x

Juntando o termo semelhante, o resultado será:

I = 2 c o s 3 x   s e n x - 8 cos 5 ⁡ x   s e n x + 3 s e n x   c o s x + 3 x + C

Resposta

2 c o s 3 x   s e n x - 8 cos 5 ⁡ x   s e n x + 3 s e n x   c o s x + 3 x + C

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