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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 23

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Para iniciar o exercício, pode-se reescrever a integral, tal que:

I = 15 ∫ s e n 2 x   c o s x   c o s 2 x   d x

Lembrando da identidade trigonométrica

c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Tem-se:

I = 15 ∫ s e n 2 x   c o s x   1 - s e n 2 x   d x

Passo 2

Separando a integral em uma soma de integrais:

I = 15 ∫ s e n 2 x   c o s x   d x - ∫ c o s x   s e n 4 x   d x

Ambas as integrais podem ser resolvidas por substituição através de u = s e n x e d u = c o s x d x . Dessa forma:

I = 15 ∫ u 2 d u - ∫ u 4 d u

I = 15 u 3 3 - u 5 5 + C

Passo 3

Retornando o resultado das integrais para a variável original:

I = 15 s e n 3 x 3 - s e n 5 x 5 + C

I = 5 s e n 3 x - 3 s e n 5 x + C

Resposta

5 s e n 3 x - 3 s e n 5 x + C

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