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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 21

Calcule a integral

21. int_0^(pi // 6) sin 4 x cos 2 x d x

Passo 1

Pra integrais como essa, em que os argumentos do seno e do cosseno são diferentes, podemos usar a seguinte propriedade pra resolvê-la:

sin A cos B = (sin (A + B) + sin ( A - B ))/(2)

Reescrevemos nossa integral, então, considerando essa propriedade e os argumentos do seno e do cosseno. Teremos:

int_0^(pi // 6) sin 4 x cos 2 x d x = int_0^(pi // 6) (sin (4 x + 2 x) + sin ( 4 x - 2 x ))/(2) d x

Passo 2

Resolvemos então a integral resultante. Começamos por isolar a constante e separar em integrais menores:

int_0^(pi // 6) (sin (6 x) + sin ( 2 x ))/(2) d x = (1)/(2) [int_0^(pi // 6) sin (6 x) d x + int_0^(pi // 6) sin ( 2 x ) d x]

Resolvemos as integrais menores na ordem que aparecem:

:. int_0^(pi // 6) sin (6 x) d x = (- (cos 6 x)/(6)|_0^(pi // 6) = - (cos 6 ((pi)/(6)))/(6) + (cos 6 (0))/(6) = - ((- 1)/(6)) + (1)/(6) = (1)/(3)

Passo 3

:. int_0^(pi // 6) sin ( 2 x ) d x = (- (cos 2 x)/(2)|_0^(pi // 6) = - (cos 2 ((pi)/(6)))/(2) + (cos 2 (0))/(2) = - ((1 // 2)/(2)) + (1)/(2) = (3 // 2)/(2) = (3)/(4)

Resolvidas as integrais, retornamos aos colchetes e substituímos pelos resultados delas:

(1)/(2) [int_0^(pi // 6) sin (6 x) d x + int_0^(pi // 6) sin ( 2 x ) d x] = (1)/(2) [(1)/(3) + (3)/(4)] = (1)/(2) * (13)/(12) = (13)/(24)

Resposta

int_0^(pi // 6) sin 4 x cos 2 x d x = (13)/(24)

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