Calcule a integral

21. ∫ 0 π / 6 sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Pra integrais como essa, em que os argumentos do seno e do cosseno são diferentes, podemos usar a seguinte propriedade pra resolvê-la:

sin ⁡ A cos ⁡ B = sin ⁡ A + B + sin ⁡ ( A - B ) 2

Reescrevemos nossa integral, então, considerando essa propriedade e os argumentos do seno e do cosseno. Teremos:

∫ 0 π / 6 sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x d x = ∫ 0 π / 6 sin ⁡ 4 x + 2 x + sin ⁡ ( 4 x - 2 x ) 2 d x

Passo 2

Resolvemos então a integral resultante. Começamos por isolar a constante e separar em integrais menores:

∫ 0 π / 6 sin ⁡ 6 x + sin ⁡ ( 2 x ) 2 d x = 1 2 ∫ 0 π / 6 sin ⁡ 6 x d x + ∫ 0 π / 6 sin ⁡ ( 2 x ) d x

Resolvemos as integrais menores na ordem que aparecem:

∴ ∫ 0 π / 6 sin ⁡ 6 x d x = - cos ⁡ 6 x 6 0 π / 6 = - cos ⁡ 6 π 6 6 + cos ⁡ 6 0 6 = - - 1 6 + 1 6 = 1 3

Passo 3

∴ ∫ 0 π / 6 sin ⁡ ( 2 x ) d x = - cos ⁡ 2 x 2 0 π / 6 = - cos ⁡ 2 π 6 2 + cos ⁡ 2 0 2 = - 1 / 2 2 + 1 2 = 3 / 2 2 = 3 4

Resolvidas as integrais, retornamos aos colchetes e substituímos pelos resultados delas:

1 2 ∫ 0 π / 6 sin ⁡ 6 x d x + ∫ 0 π / 6 sin ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 1 3 + 3 4 = 1 2 ∙ 13 12 = 13 24

Resposta

∫ 0 π / 6 sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x d x = 13 24

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