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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 22

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

22 )   ∫ t g ³   x x . d x    

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral devemos usar a identidade:

t g ²   x = s e c ² x - 1

Substituindo:

∫ t g ³   x x . d x = ∫ t g   x . ( s e c ² x - 1 ) x . d x = ∫ t g   x . s e c ² x x . d x - ∫ t g   x x . d x

Chamamos:

u = x

d u = 1 2 x . d x

2 . d u = d x x

Sendo assim:

∫ t g   x . s e c ² x x . d x - ∫ t g   x x . d x = 2 ∫ t g   u . s e c ² u . d u - 2 ∫ t g   u . d u

Passo 2

Agora resolvemos cada integral separadamente. Para a primeira,

2 ∫ t g   u . s e c ² u . d u

Devemos fazer uma segunda substituição:

z = tg ⁡ u

d z = sec ² ⁡ u . d u

2 ∫ z . d z = 2 . z 2 2 = t g ² u = t g ² x  

Então:

2 ∫ t g   u . s e c ² u . d u = t g ² x  

Para a segunda:

2 ∫ t g   u . d u = 2 . ln ⁡ | sec ⁡ u | = 2 . ln ⁡ | sec ⁡ x |

Resposta

∫ t g ³   x x . d x   = t g ² x + 2 . ln ⁡ | sec ⁡ x | + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 40 para ∫ tan ⁡ x sec n ⁡ x d x ,s en ≠ 0 .
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