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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 25

Calcule a integral efetuando uma substituição trigonométrica apropriada.

∫ x 2 9 + x 2 d x

Passo 1

Como no denominador a gente tem algo parecido com x 2 + a 2 , com a = 3 , vamos usar a substituição:

x = a   t g   θ = 3   t g   θ

d x d θ = 3 sec 2 ⁡ θ ∴ d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

A integral fica assim:

∫ 9   t g 2 θ 9 + 9   t g 2 θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 9   t g 2 θ 9 ( 1 + t g 2 θ ) 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Sabendo que:

sec 2 ⁡ θ = t g 2 θ + 1

Podemos reescrever a integral assim:

∫ 1 3 sec 2 ⁡ θ 27   t g 2 θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 9   t g 2 θ sec ⁡ θ d θ

Passo 2

Agora a gente precisa resolver essa integral. Lembrando que t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ - 1 ,   vamos reescrever a integral assim:

∫ 9   sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ d θ = 9 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ - 9 ∫ sec ⁡ θ d θ

= 9 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ - 9 ln ⁡ sec ⁡ θ + t g   θ

Podemos usar a fórmula de redução nessa integral que ficou

∫ sec n ⁡ θ d θ = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

Fica assim:

9 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 9   sec ⁡ θ t g   θ 2 - 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ = 9 2 sec ⁡ θ   t g   θ + 9 2 ln ⁡ | sec ⁡ θ + t g   θ |  

Substituindo nas nossas continhas:

∫ 9   t g 2 θ sec ⁡ θ d θ = 9 2 sec ⁡ θ   t g   θ + 9 2 ln ⁡ | sec ⁡ θ + t g   θ | - 9 ln ⁡ sec ⁡ θ + t g   θ =

= 9 2 sec ⁡ θ   t g   θ - 9 2 ln ⁡ | sec ⁡ θ + t g   θ |

Passo 3

Mas a nossa integral estava em função de x . Então a gente tem que voltar para essa variável. Usamos a substituição:

x = 3   t g   θ ∴ x 3 = t g   θ ∴ θ = a r c t g   x 3

Desenhando o triângulo retângulo com essa característica, e usando Pitágoras para achar o lado que falta:

Daí a gente pode tirar que:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = x 2 + 9 3 ,     t g   θ = x 3

Substituindo esses valores na nossa resposta:

∫ x 2 9 + x 2 d x = 9 2 sec ⁡ θ   t g   θ - 9 2 ln ⁡ | sec ⁡ θ + t g   θ | =

= 1 2 x   x 2 + 9 - 9 2 ln ⁡ x 2 + 9 3 + x 3 + C

E lembrando que precisamos colocar a constante de integração, já que a integral é indefinida.

Resposta

1 2 x   x 2 + 9 - 9 2 ln ⁡ x 2 + 9 3 + x 3 + C

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