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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 31

Calcule a integral

31. int tan 4 x sec^4 4 x d x

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

sec^2 u = 1 + tan^2 u

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

int tan 4 x sec^4 4 x d x = int tan 4 x sec^2 4 x sec^2 4 x d x

E agora aplicamos a propriedade:

int tan 4 x sec^2 4 x sec^2 4 x d x = int tan 4 x ( 1 + tan^2 4 x ) sec^2 4 x d x

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = tan 4 x e d u = 4 sec^2 4 x d x

Fazemos uma pequena manipulação na integral, muitplicando o conteúdo por 4 e dividindo, do lado de fora, por 4:

int tan 4 x ( 1 + tan^2 4 x ) sec^2 4 x d x = (1)/(4) int tan 4 x ( 1 + tan^2 4 x ) 4 sec^2 4 x d x

Agora, aplicamos na integral a substituição e vamos ter:

(1)/(4) int tan 4 x ( 1 + tan^2 4 x ) 4 sec^2 4 x d x = (1)/(4) int u ( 1 + u^2 ) d u

Fazemos a distributiva e separamos a integral resultante em duas:

(1)/(4) int u ( 1 + u^2 ) d u = (1)/(4) [int u d u + int u^3 d u]

Passo 3

Essas integrais se resolvem diretamente. Resolvendo elas na ordem que estão, temos:

:. int u d u = (u^2)/(2) + C

Retornando à variável original:

(u^2)/(2) + C = (tan^2 x)/(2) + C

Passo 4

:. int u^3 d u = (u^4)/(4) + C

Retornando à variável original:

(u^4)/(4) + C = (tan^4 x)/(4) + C

Passo 5

Retornamos aos colchetes que tínhamos com as duas integrais, no Passo 2. Resolvemos:

(1)/(4) [int u d u + int u^3 d u] = (1)/(4) [(tan^2 x)/(2) + (tan^4 x)/(4)] + C

Como resposta, vamos ter:

int tan 4 x sec^4 4 x d x = (tan^2 x)/(8) + (tan^4 x)/(16) + C

Resposta

int tan 4 x sec^4 4 x d x = (tan^2 x)/(8) + (tan^4 x)/(16) + C

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