Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 31

a Calcule a integral ∫ s e n x cos ⁡ x d x usando a substituição u = s e n x .

b Calcule a integral ∫ s e n x cos ⁡ x d x usando a identidade s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x .

c Explique por que as respostas de a e b são consistentes.

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos as duas primeiras partes desse exercício podemos simplesmente usar a dica dada no enunciado diretamente. Como foi dito, ao final os resultados de ambas essas partes vão ser analisadas a fim de conseguirmos concluir algo sobre elas.

Passo 2

Assim, para o primeiro caso, iremos aplicar a substituição u = s e n x e teremos que:

d u = cos ⁡ x d x

Logo:

∫ s e n x cos ⁡ x d x = ∫ u   d u

E o resultado da integral será:

∫ u   d u = u 2 2 + C

Tal que, substituindo a variável de origem:

∫ s e n x cos ⁡ x d x = s e n 2 x 2 + C

Passo 3

Já para o segundo caso, vamos aplicar a transformação trigonométrica s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x para transformar o nosso integrando em:

∫ s e n x cos ⁡ x d x = ∫ s e n 2 x 2 d x = 1 2 ∫ s e n 2 x   d x

Logo:

1 2 ∫ s e n 2 x   d x = 1 2 - cos ⁡ 2 x 2 + C

E o resultado da integral será:

∫ s e n x cos ⁡ x d x = - cos ⁡ 2 x 4 + C

Passo 4

Como pudemos observar, os resultados de uma mesma integral foram diferentes. No entanto, ainda conseguimos fazer uma analogia entre ambas as nossas respostas.

Se lembrarmos da identidade trigonométrica:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

E substituirmos na resposta da parte a , temos:

s e n 2 x 2 + C = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x 2 + C

Tal que:

s e n 2 x 2 + C = 1 4 - cos ⁡ 2 x 4 + C

Como a soma de 1 / 4 com um valor constante C resulta em outra constante, podemos dizer que:

s e n 2 x 2 + C = - cos ⁡ 2 x 4 + 1 4 + C

s e n 2 x 2 + C = - cos ⁡ 2 x 4 + C 1

Então, é possível dizer que:

s e n 2 x 2 + C = - cos ⁡ 2 x 4 + C 1 = - cos ⁡ 2 x 4 + C

Resposta

a   ∫ s e n x cos ⁡ x d x = s e n 2 x 2 + C

b   ∫ s e n x cos ⁡ x d x = - cos ⁡ 2 x 4 + C

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