80) Suponha que uma bola caia do repouso e que t s depois, sua distância orientada do ponto de partida seja s m e sua velocidade v m / s . Desprezando a resistência do ar, quando t = t1 , s = s1 e v = v1 ,

(a) expresse v como uma função de t quando v = f(t) e ache o valor médio de f em [0, t, 1] .

(b) expresse v como uma função de s quando v = h(s) e ache o valor médio de h em [0, s1]

(c) escreva os resultados das partes (a) e (b) em termos de t1 e determine qual velocidade média é maior.

Passo 1

  1. Sabemos da Física que:
  2. g = d v d t

    Considerando g = 32   f t / s e c 2 , então:

    d v d t = 32

    Integrando:

    v = 32 t + C

    - Quando v = 0   e m   t = 0 ,   temos C = 0 , então:

    v = f t = 32 t   (1)

    O valor médio da função no intervalo [ 0 , t 1 ] é dado por:

    V M = 1 t 1 - 0 ∫ 0 t 1 32 t   d t

    Integrando:

    V M = 16 . t 1

    Passo 2

  3. Sabemos da Física que:

g = d v d s . d s d t = d v d s . v

Considerando g = 32   f t / s e c 2 , então:

32 .   d s = v . d v

Integrando:

32 s = 1 2 v 2 + C

- Quando v = 0   e m   s = 0 ,   temos C = 0 , então:

32 s = 1 2 v 2

Portanto:

v = h s = 8 s (2)

O valor médio da função no intervalo [ 0 , s 1 ] é dado por:

V M = 1 s 1 - 0 ∫ 0 s 1 8 s   d s

Integrando:

V M = 16 3 . s  

Passo 2

Substituindo a equação (1) na equação (2), teremos:

32 t = 8 s

s 1 = 4 t 1

Logo,

h 0 , s 1 = 16 3 4 t 1 = 64 3 t 1

Então, como 64 3 t 1 > 16 t 1 a velocidade média de h é maior que a velocidade média de f .

Resposta

a) v = f t = 32 t

V M = 16 . t 1

b)

v = h s = 8 s

V M = 16 3 . s  

c)Como 64 3 t 1 > 16 t 1 , a velocidade média de h é maior que a velocidade média de f

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