Nos exercícios 71 a 74, calcule a derivada.

73) d d x ∫ x x 2 1 t   d t x > 0

Passo 1

O exercício solicita que calculemos a seguinte derivada:

d d x ∫ x x 2 1 t   d t

Para isso, utilizarmos o 1º Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ a x f ( t )   d t = f ( x )

Para começar, vamos inserir " a " no intervalo de x a x 2 , separando em duas integrais e assim, adequando ao teorema acima:

d d x ∫ x x 2 1 t   d t = d d x ∫ a x 2 1 t   d t - ∫ a x 1 t   d t

Agora, usaremos a regra da cadeia com u = x 2

d d x ∫ x x 2 1 t   d t = d d u ∫ a u 1 t   d t - d d x ∫ a x 1 t   d t  

Resolvendo as integrais:

d d x ∫ x x 2 1 t   d t = 1 u 2 x - 1 x

Substituindo x 2 = u

d d x ∫ x x 2 1 t   d t = 1 x 2 2 x - 1 x

d d x ∫ x x 2 1 t   d t = 1 x

Resposta

d d x ∫ x x 2 1 t   d t = 1 x

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