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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 73

Nos exercícios 71 a 74, calcule a derivada.

73) (d)/(d x) int_x^(x^2) (1)/(t) d t x > 0

Passo 1

O exercício solicita que calculemos a seguinte derivada:

(d)/(d x) int_x^(x^2) (1)/(t) d t

Para isso, utilizarmos o 1º Teorema Fundamental do Cálculo:

(d)/(d x) int_a^x f ( t ) d t = f ( x )

Para começar, vamos inserir " a " no intervalo de x a x^2 , separando em duas integrais e assim, adequando ao teorema acima:

(d)/(d x) int_x^(x^2) (1)/(t) d t = (d)/(d x) (int_a^(x^2) (1)/(t) d t - int_a^x (1)/(t) d t)

Agora, usaremos a regra da cadeia com u = x^2

(d)/(d x) int_x^(x^2) (1)/(t) d t = (d)/(d u) int_a^u (1)/(t) d t - (d)/(d x) int_a^x (1)/(t) d t

Resolvendo as integrais:

(d)/(d x) int_x^(x^2) (1)/(t) d t = (1)/(u) (2 x) - (1)/(x)

Substituindo x^2 = u

(d)/(d x) int_x^(x^2) (1)/(t) d t = (1)/(x^2) (2 x) - (1)/(x)

(d)/(d x) int_x^(x^2) (1)/(t) d t = (1)/(x)

Resposta

(d)/(d x) int_x^(x^2) (1)/(t) d t = (1)/(x)

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