Calcule a integral:

∫ - π 4 π 4 cosh ⁡ t g   θ sec 2 ⁡ θ   d θ  

Passo 1

Vamos usar uma substituição para facilitar nosso trabalho:

u = t g   θ → d u = sec 2 ⁡ θ   d θ

Assim, vamos escrever a integral indefinida:

∫ cosh ⁡ u d u  

Vamos resolver em u , e depois voltamos para a variável θ ...

∫ cosh ⁡ u d u = s e n h   u + C = s e n h   t g θ | π 4 - π 4

Passo 2

Vamos jogar os limites de integração agora e resolver:

s e n h t g π 4 - s e n h   t g - π 4 = s e n h   1 - s e n h   ( - 1 )

Sabendo que s e n h   x =   e x - e - x 2 vamos substituir para obtermos o valor direitinho:

s e n h   1 - s e n h - 1 = e 1 - e - 1 2 - e - 1 - e 1 2 =   e 1 - e - 1 - e - 1 + e 1 2 = 2 e - 2 e - 1 2 = e - e - 1

E pronto!

Resposta

e - e - 1

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