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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 55

Calcule a integral:

int_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) cosh (t g theta) sec^2 theta d theta

Passo 1

Vamos usar uma substituição para facilitar nosso trabalho:

u = t g theta -> d u = sec^2 theta d theta

Assim, vamos escrever a integral indefinida:

int cosh u d u

Vamos resolver em u , e depois voltamos para a variável theta ...

int cosh u d u = s e n h u + C = s e n h (t g theta) | ((pi)/(4))/(- (pi)/(4))

Passo 2

Vamos jogar os limites de integração agora e resolver:

s e n h (t g ((pi)/(4))) - s e n h (t g (- (pi)/(4))) = s e n h (1) - s e n h ( - 1 )

Sabendo que s e n h x = (e^x - e^(- x))/(2) vamos substituir para obtermos o valor direitinho:

s e n h (1) - s e n h (- 1) = (e^1 - e^(- 1))/(2) - ((e^(- 1) - e^1)/(2)) = (e^1 - e^(- 1) - e^(- 1) + e^1)/(2) = (2 e - 2 e^(- 1))/(2) = e - e^(- 1)

E pronto!

Resposta

e - e^(- 1)

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