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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 40

Calcule a integral

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) csc^3 ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos resolver esta integral pelo método de integração por partes. Vamos resolver primeiro como se fosse uma integral indefinida e depois colocamos os limites de integração, daí ficamos com

int csc^3 (x) d x = int c s c (x) csc^2 ( x ) d x

Seja u = c s c ( x ) , temos que d u = - csc (x) cot (x) d x

Seja d v = csc^2 ( x ) , temos que v = - c o t ( x )

int c s c (x) csc^2 (x) d x = - csc (x) cot (x) - int c s c (x) cot^2 ( x ) d x

Agora, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: csc^2 ( x ) = cot^2 ( x ) + 1 . Então, substituindo

- csc (x) cot (x) - int c s c (x) cot^2 (x) d x = - csc (x) cot (x) - int c s c (x) (csc^2 (x) - 1) d x = - csc (x) cot (x) - int (csc^3 (x) - c s c (x)) d x

Podemos separar a integral em duas, portanto

- csc (x) cot (x) - int (csc^3 (x) - c s c (x)) d x = - csc (x) cot (x) - int csc^3 (x) d x + int c s c (x) d x

Passo 2

Agora, vamos fazer o seguinte

int csc^3 (x) d x = - csc (x) cot (x) - int csc^3 (x) d x + int c s c (x) d x

2 int csc^3 (x) d x = - csc (x) cot (x) + int c s c (x) d x

Então

int csc^3 (x) d x = (1)/(2) [- csc (x) cot (x) + int c s c (x) d x]

Passo 3

Agora, vamos resolver separadamente a integral

int c s c (x) d x

Vamos fazer o seguinte, vamos multiplicar toda a integral pelo fator

(csc (x) - cot (x))/(csc (x) - cot (x))

Daí, ficamos com

int (csc (x) (csc (x) - cot (x)))/(csc (x) - cot (x)) d x = int (- csc (x) cot (x) + csc^2 (x))/(csc (x) - cot (x)) d x

Agora, podemos resolver pelo método da substituição

Seja u = csc (x) - cot (x) , temos que d u = - csc (x) cot (x) - (- csc^2 (x)) . Substituindo

int (- csc (x) cot (x) + csc^2 (x))/(csc (x) - cot (x)) d x = int (d u)/(u) = ln |u| = ln |csc (x) - cot (x)|

Passo 4

Agora, podemos substituir o que encontramos, então

int csc^3 (x) d x = (1)/(2) [- csc (x) cot (x) - int c s c (x) d x]

int csc^3 (x) d x = (1)/(2) [- csc (x) cot (x) + ln |csc (x) - cot (x)|]

Por último, só falta adicionarmos os limites de integração

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) csc^3 ( x ) d x = (1)/(2) [- csc (x) cot (x) + ln |csc (x) - cot (x)|]_((pi)/(6))^((pi)/(3)) = (1)/(2) [- (2)/(sqrt(3)) * (1)/(sqrt(3)) + ln |(2)/(sqrt(3)) - (1)/(sqrt(3))|] - (1)/(2) [ - 2 * sqrt(3) + ln |2 - sqrt(3)| = - (1)/(3) + sqrt(3) + (1)/(2) ln ((1)/(sqrt(3))) - (1)/(2) ln (2 - sqrt(3)) tildetilde 1,7825

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) csc^3 ( x ) d x tildetilde 1,7825

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