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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 30

Questão 30) Calcule a integral definida:

int_0^((pi)/(6)) s e n 2 x . c o s 4 x d x

Passo 1

Usando a identidade s e n A . c o s B = 1 // 2 [ s e n (A - B) + s e n (A + B) ] , aplicando essa identidade no integrando, temos

int_0^((pi)/(6)) s e n 2 x . c o s 4 x d x = (1)/(2) int_0^((pi)/(6)) s e n (- 2 x) + s e n (6 x) d x

Como o s e n ( x ) é uma função impar isso faz com que o s e n (- 2 x) = - sen(x)

int_0^((pi)/(6)) s e n 2 x . c o s 4 x d x = (1)/(2) int_0^((pi)/(6)) - s e n (2 x) + s e n (6 x) d x

= (1)/(2) int - s e n (2 x) d x + int s e n (6 x) d x

= (1)/(2) ((cos (2 x))/(2)) - (1)/(2) ( (cos (6 x))/(6) )

Passo 2

Aplicando os intervalo de integração

int_0^((pi)/(6)) s e n 2 x . c o s 4 x d x = (1)/(2) ((cos (2 x))/(2)) - (1)/(2) ( (cos (6 x))/(6) )_0^((pi)/(6))

= (1)/(6)

Resposta

int_0^((pi)/(6)) s e n 2 x . c o s 4 x d x = (1)/(6)

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