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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 47

Calcule a integral

int (1 - tan^2 (x))/(sec^2 (x)) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec (x) = 1 // cos (x) . Então, substituindo

int (1 - tan^2 (x))/(sec^2 (x)) d x = int (1 - tan^2 (x))/((1)/(cos^2 (x))) d x = int (1 - tan^2 (x)) cos^2 (x) d x = int ( cos^2 (x) - tan^2 (x) cos^2 ( x ) ) d x = int (cos^2 (x) - (sin^2 (x))/(cos^2 (x)) cos^2 (x)) d x = int ( cos^2 (x) - sin^2 (x) ) d x

Agora, precisamos lembrar de outra propriedade trigonométrica

cos (2 x) = cos^2 ( x ) - sin^2 ( x )

Então, substituindo

int ( cos^2 (x) - sin^2 (x) ) d x = int cos (2 x) d x

Seja u = 2 x , temos que d u // 2 = d x . Substituindo

int cos (2 x) d x = (1)/(2) int cos (u) d u = (1)/(2) sin (u) + c = (1)/(2) sin (2 x) + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int (1 - tan^2 (x))/(sec^2 (x)) d x = (1)/(2) sin (2 x) + c

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