Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 12
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
12.
Onde D é o disco com centro na origem e raio 2.
Passo 1
Fala, galera!
A questão nos pede parar mudar a função de integração de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e depois calcular. Moleza, né?
Vamos lembrar algumas fórmulas que podemos usar para polar:
Assim, vamos transformar:
Agora precisamos escrever a nossa região em coordenadas polares.
O valor do raio varia de 0 até o círculo de raio 2, logo
Já o valor de varia de até , pois a nossa região D descreve todo o círculo de raio 2.
Passo 2
Agora que descrevemos a região em coordenadas polares, podemos colocar os limites de integração na nossa integral. Portanto,
Resolvemos primeiro a integral de dentro.
Como temos dentro da integral uma função trigonométrica e um polinômio, usaremos a técnica de integração por partes. Para isto, basta lembrar da fórmula:
Seja , então .
Também seja , então .
Logo,
Passo 3
Resolvendo, agora, a integral de fora: