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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 1

Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo 0 ≤ x ≤ 5 , 2 ≤ y ≤ 5 , de modo que a densidade de carga em x , y é σ x , y = 2 x + 4 y (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no retângulo.

Passo 1

Faaaaala minha turminha, tudo na paz com vocês?! Vamos gabaritar essa ein!!!

Foque no enunciado primeiro. Temos a distribuição de densidade σ x , y de carga sobre um retângulo com medidas 0 ≤ x ≤ 5 e 2 ≤ y ≤ 5 . Precisamos determinar a carga total sobre esse retângulo.

Para podermos calcular a carga total, vamos pensar um pouquinho juntos. Ele nos forneceu uma densidade de carga na região de um retângulo, logo temos que a densidade por unidade de área:

σ x , y = Q A

Se isolarmos Q , que é nossa carga e integrarmos a densidade na área, vamos ter a carga total:

Q = ∬ D σ x , y d A

Onde,

σ x , y = 2 x + 4 y

E a região D é o retângulo:

D = x , y 0 ≤ x ≤ 5 ,   2 ≤ y ≤ 5 }

Um detalhe importante, como é uma região retangular fica mais fácil integrarmos em coordenadas retangulares mesmo.

Logo, é só montar a integral e começar as operações de integração.

Com esse bizu monstro, ficou fácil de resolver ein! Bora lá!!!

Passo 2

Precisamos achar a carga total, e já conhecemos a expressão:

Q = ∬ D σ x , y d A

σ x , y = 2 x + 4 y

D = x , y 0 ≤ x ≤ 5 ,   2 ≤ y ≤ 5 }

Rei ajeitando, temos a seguinte expressão:

∫ 0 5 ∫ 2 5 2 x + 4 y d y d x

Agora, vamos resolver a nossa integral. Vamos começar de dentro para fora.

Integrando em d y , vamos ter:

∫ 0 5 2 x y + 2 y 2 2 5 d x

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 5 10 x + 50 - 4 x - 8 d x

∫ 0 5 6 x + 42 d x

Agora restou uma integral simples em d x , integrando temos:

3 x 2 + 42 x 0 5

Aplicando os limites de integração, vamos ficar com:

75 + 210 = 285

Logo a carga total é:

Q = ∫ 0 5 ∫ 2 5 2 x + 4 y d y d x = 285   C

Onde C (Coulomb) é a unidade de carga.

Resposta

285   C

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