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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 70

Calcule a integral em termos de:

  1. funções hiperbólicas inversas.
  2. logaritmos naturais.

∫ 0 1 2   d x 1 - x 2

Passo 1

  1. Sabendo que a função da forma 1 1 - u 2 com u < 1   (que é o caso) é a derivada da função de t g h - 1 u , temos que: ∫ 0 1 2   d x 1 - x 2 = t g h - 1 x ] 1 2 0  

Aplicamos agora os limites de integração e...

t g h - 1 x ] 1 2 0 = t g h - 1 1 2 - t g h - 1 0 = t g h - 1 1 2

Passo 2

  1. Agora, tendo o valor de x = 1 2 , para encontrarmos o valor em termos de logaritmos naturais, basta aplicarmos a fórmula encontrada na tabela da página 430 (exercícios anteriores)...

t g h - 1 1 2 = 1 2 ln ⁡ 1 + 1 2 1 - 1 2 = 1 2 ln ⁡ 3 2 1 2   =   1 2 ln ⁡ 3

Resposta

  1. t g h - 1 1 2
  2. 1 2 ln ⁡ 3
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