Calcule a integral definida

∫ 0 1 x 2 + 2 x   x 3 + 3 x 2 + 4   1 / 3 d x      

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Essa é de assustar mesmo. Olha para ela como é estranha. Deveriam proibir os matemáticos de inverter expressões assim . rs

Mas se você já está acompanhando nossas resoluções, sabe que mesmo essas expressões grandes podem ser resolvidas de usando um truquezinho!

Vamos usar Nossa Jogada de Mestre.

Partiu Substituição!!!!!!

∫ 0 1 x 2 + 2 x   x 3 + 3 x 2 + 4   1 / 3 d x    

u       =   x 3 + 3 x 2 + 4       ,

d u   =   3 x 2 +   6   x   d x → d u =   3   x 2 + 2 x   d x

→ d u 3 = x 2 + 2 x   d x  

Sim, podemos fazer nossa função com qualquer expressão. Então nosso u(x) pode ser até mesmo uma expressão enorme como fizemos agora.

Próximo passo é alterar os limites de integração.

u       = x 3 + 3 x 2 + 4

S e   x   =   0   ,   u   =   4

S e   x   =   1 ,   u = 8

Entao

∫ 0 1 x 2 + 2 x   x 3 + 3 x 2 + 4   1 3 d x

  fica

∫ 4 8 1 3 u 1 / 3   d u    

1 3 ∫ 4 8 u - 1 / 3   d u    

Passo 3

Pronto, aquela expressão gigante e estranha virou uma que aprendemos a calcular laaaaaaaá no nosso inicio.

1 3 ∫ 4 8 u - 1 / 3   d u    

  1 3 .   3 2   u 2 / 3 u = 4 8

1 2   8 2 3 - 4 2 3  

2   –   2 1 / 3

Resposta

∫ 0 1 x 2 + 2 x   x 3 + 3 x 2 + 4   1 / 3 d x   =   2   –   2 1 / 3

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