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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 17

Calcule a integral definida

int_0^1 (x^2 + 2 x)/((x^3 + 3 x^2 + 4)^(1 // 3)) d x

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Essa é de assustar mesmo. Olha para ela como é estranha. Deveriam proibir os matemáticos de inverter expressões assim . rs

Mas se você já está acompanhando nossas resoluções, sabe que mesmo essas expressões grandes podem ser resolvidas de usando um truquezinho!

Vamos usar Nossa Jogada de Mestre.

Partiu Substituição!!!!!!

int_0^1 (x^2 + 2 x)/((x^3 + 3 x^2 + 4)^(1 // 3)) d x

u = x^3 + 3 x^2 + 4 ,

d u = 3 x^2 + 6 x d x -> d u = 3 (x^2 + 2 x) d x

-> (d u)/(3) = x^2 + 2 x d x

Sim, podemos fazer nossa função com qualquer expressão. Então nosso u(x) pode ser até mesmo uma expressão enorme como fizemos agora.

Próximo passo é alterar os limites de integração.

u = x^3 + 3 x^2 + 4

S e x = 0 , u = 4

S e x = 1 , u = 8

Entao

int_0^1 (x^2 + 2 x)/((x^3 + 3 x^2 + 4)^((1)/(3))) d x

fica

int_4^8 (1)/(3 u^(1 // 3)) d u

(1)/(3) int_4^8 u^(- 1 // 3) d u

Passo 3

Pronto, aquela expressão gigante e estranha virou uma que aprendemos a calcular laaaaaaaá no nosso inicio.

(1)/(3) int_4^8 u^(- 1 // 3) d u

((1)/(3) . (3)/(2) u^(2 // 3)|_(u = 4)^8

(1)/(2) (8^((2)/(3)) - 4^((2)/(3)))

2 – 2^(1 // 3)

Resposta

int_0^1 (x^2 + 2 x)/((x^3 + 3 x^2 + 4)^(1 // 3)) d x = 2 – 2^(1 // 3)

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