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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 63

63 – Qual é o maior valor que:

∫ a b x - x 2   d x

Pode ter quais quer a e b? Justifique sua resposta!

Passo 1

Primeiramente vamos observar os pontos de raizes da função:

f x =   x - x 2

x - x 2 = 0

x - x 2 2 = 0 2

x - x 2 = 0

x 1 - x = 0

Temos para x = 0

e

1 - x = 0 → x = 1

A raizes que zeram a equação é 0 e 1, logo ele estará entre este dominio, pois se a e b for números maiores teríamos raizes negativas, o que não existe no conjunto do números reais.

Passo 2

Calculando a integral:

∫ 0 1 x - x 2   d x

Utilizaremos a fórmula 121 da página 633:

∫ 2 a x - x 2   d x = x - a 2 2 a x - x 2 + a 2 2 s e n - 1 x - a a + C  

Primeiramente precisamos descobrir a:

2 a x = x   ,   a s s i m : a = x 2 x ,   a = 1 2

∫ 0 1 x - x 2 d x = x - 1 2 2 x - x 2 + 1 2 2 2 s e n - 1 x - 1 2 1 2 0 1

Subsitituindo os limites de integração:

1 - 1 2 2 1 - 1 2 + 1 2 2 2 s e n - 1 1 - 1 2 1 2 - 0 - 1 2 2 0 - 0 2 + 1 2 2 2 s e n - 1 0 - 1 2 1 2

Assim:

1 - 1 2 2 0 + 1 4 2 s e n - 1 1 2 1 2 - 0 - 1 2 2 0 + 1 4 2 s e n - 1 - 1 2 1 2

As partes negritas recebem valor zero:

0 + 1 8 s e n - 1 1 - 0 + 1 8 s e n - 1 - 1

Para: s e n - 1 1 = π 2   e   s e n - 1 - 1 =   - π 2

Substituindo:

1 8 ⋅ π 2 - 1 8 ⋅ - π 2

π 16 + π 16 = 2 π 16 = π 8

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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