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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 16

Calcule a integral definida

int_1^3 (x)/(( 3 x^2 - 1 ) ³) d x

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Essa é mais uma das integrais que parecem complicadinhas , mas se substituir fica algo beeeeeem tranquilo . E lembra da dica máxima : Substitua o denominador

Então vamos la! \o/

int_1^3 (x)/(( 3 x^2 - 1 ) ³) d x

u = 3 x^2 - 1 ,

d u = 6 x d x -> (d u)/(6) = x d x

Nosso Próximo passo é alterar os limites de integração.

u = 3 x^2 - 1

S e t = 1 , u = 2

S e t = 3 , u = 26

Entao

int_1^3 (x)/((3 x^2 - 1)^3) d x

Fica

int_2^(26) (1)/(6 u^3) d u

= (1)/(6) int_2^(26) u^(- 3) d u

Passo 3

Pronto chegamos a uma expressão que é muito fácil integrar. O limite de integração ficou esquisito ... um intervalo de [26 , 2 ], mas relaxa. Quando a gente substitui eles podem se alterar para coisas mais estranhas mesmo.

= (1)/(6) int_2^(26) u^(- 3) d u

= ((1)/(6) . (- (1)/(2)) u^(- 2)|_(u = 2)^(26)

= - (1)/(12) (26^(- 2) - 2^(- 2))

= (7)/(338)

Resposta

int_1^3 (x)/(( 3 x^2 - 1 ) ³) d x = (7)/(338)

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