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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 25

Calcule a integral definida

int_0^3 ( x + 2 ) sqrt(x + 1) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Ao longo das resoluções fizemos sempre o mesmo método, usamos sempre a mesma cartada de usar substituição. Agora vamos substituir de um jeito um pouco mais ousado, lembre temos que praticar formas diferentes para a prova.

Então vamos la !!!!!

int_0^3 (x + 2) sqrt(x + 1) d x

u = sqrt(x + 1) -> x = u^2 - 1

d u = (1)/(2 sqrt(x + 1)) d x -> d u = (1)/(2 u) d x -> 2 u d u = d x

Próximo passo é redefinir os limites de integração

u = sqrt(x + 1)

S e x = 0 , e n t ã o u = 1

S e x = 3 , e n t ã o u = 2

Entao int_0^3 (x + 2) sqrt(x + 1) d x

fica

= int_1^2 (u^2 - 1 + 2) u ( 2 u d u )

= int_1^2 2 u^2 (u^2 + 1) d u

= int_1^2 2 u^4 + 2 u ² d u

Perfeito. Chegamos a uma expressão fácil de integrar. Todos os termos estão independentes.

Passo 3

Assim a integração fica : (2 ((u^5)/(5) + (u^3)/(3))|_(u = 1)^2

(2)/(5) (2^5 - 1) + (2)/(3) ( 2^3 - 1 )

= (256)/(15)

Resposta

int_0^3 ( x + 2 ) sqrt(x + 1) d x = (256)/(15)

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