Calcule a integral definida

∫ 0 3   ( x + 2 ) x + 1   d x    

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Ao longo das resoluções fizemos sempre o mesmo método, usamos sempre a mesma cartada de usar substituição. Agora vamos substituir de um jeito um pouco mais ousado, lembre temos que praticar formas diferentes para a prova.

Então vamos la !!!!!

∫ 0 3   x + 2 x + 1   d x    

u       = x + 1 → x = u 2 - 1

d u   = 1 2 x + 1   d x → d u =   1 2 u d x   → 2 u d u = d x

Próximo passo é redefinir os limites de integração

u       = x + 1

S e   x = 0   ,   e n t ã o   u   =   1

S e   x   =   3 ,   e n t ã o   u   =   2

Entao ∫ 0 3   x + 2 x + 1   d x      

fica

=   ∫ 1 2 u 2 - 1 + 2 u ( 2 u d u )

= ∫ 1 2 2 u 2 u 2 + 1 d u

=   ∫ 1 2 2 u 4 + 2 u ² d u      

Perfeito. Chegamos a uma expressão fácil de integrar. Todos os termos estão independentes.

Passo 3

Assim a integração fica : 2 u 5 5 + u 3 3     u = 1 2

2 5   2 5 - 1   + 2 3 ( 2 3 - 1   )

=   256 15

Resposta

∫ 0 3   ( x + 2 ) x + 1   d x     =   256 15

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