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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 32

Calcule a integral definida:

int_(- 1)^1 ((2 x + 6) d x)/(x^2 + 2 x + 5) d x

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok?

A primeira coisa que vamos fazer é separar essa integral em duas, da seguinte forma:

int ((2 x + 6) d x)/(x^2 + 2 x + 5) = int ((( 2 x + 2 ) + 4) d x)/(x^2 + 2 x + 5) = int ((2 x + 2) d x)/(x^2 + 2 x + 5) + int (4 d x)/(x^2 + 2 x + 5)

Ok? Vamos resolver uma de cada vez agora.

Passo 2

Primeiro vamos resolver:

int ((2 x + 2) d x)/(x^2 + 2 x + 5)

Aqui faremos uma substituição chamando u = x^2 + 2 x + 5 e derivando, temos:

d u = (2 x + 2) d x

Que é justamente o que temos no numerador, ok?

Sendo assim, podemos trocar a variável da integral e obter uma mais simples.

int ((2 x + 2) d x)/(x^2 + 2 x + 5) = int (d u)/(u)

A integral em u é imediata, pessoal!

int (d u)/(u) = ln |u| + C

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois u = x^2 + 2 x + 5 .

int ((2 x + 2) d x)/(x^2 + 2 x + 5) = ln |x^2 + 2 x + 5| + C

Passo 3

Agora vamos resolver:

int (4 d x)/(x^2 + 2 x + 5)

Para resolver essa, nós vamos precisar completar quadrado no denominador.

x^2 + 2 x + 5 = ( x^2 + 2 x + 1 ) + 4

= (x + 1)^2 + 4

Pronto, agora trocamos na integral:

int (4 d x)/(x^2 + 2 x + 5) = 4 int (d x)/((x + 1)^2 + 4)

Pessoa, temos que tentar deixar esse denominador na forma h^2 + 1 , aí vira uma integral imediata. Para isso eu vou deixar o 4 , em evidência.

(x + 1)^2 + 4 = 4 (((x + 1)^2)/(4) + 1) = 4 (((x + 1)^2)/(2^2) + 1) = 4 (((x + 1)/(2))^2 + 1)

Fechou! Vamos trocar na integral.

4 int (d x)/((x + 1)^2 + 4) = 4 int (d x)/(4 (((x + 1)/(2))^2 + 1)) = int (d x)/(((x + 1)/(2))^2 + 1)

Aqui faremos uma substituição chamando h = (x + 1)/(2) e derivando temos:

d h = (1)/(2) d x -> 2 d h = d x

E com isso temos a integral:

int (d x)/(((x + 1)/(2))^2 + 1) = int (2 d h)/(h^2 + 1) = 2 int (d h)/(h^2 + 1)

A integral em h é imediata, pessoal!

2 int (d h)/(h^2 + 1) = 2 tan^(- 1) h + C

Pois ( tan^(- 1) h ) ' = (1)/(h^2 + 1) .

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois h = (x + 1)/(2) .

int (4 d x)/(x^2 + 2 x + 5) = 2 tan^(- 1) ((x + 1)/(2)) + C

Passo 4

Agora vamos substituir as integrais do passo 3 e 4 na integral inicial:

int ((2 x + 6) d x)/(x^2 + 2 x + 5) = int ((2 x + 2) d x)/(x^2 + 2 x + 5) + int (4 d x)/(x^2 + 2 x + 5)

int ((2 x + 6) d x)/(x^2 + 2 x + 5) = ln |x^2 + 2 x + 5| + 2 tan^(- 1) ((x + 1)/(2)) + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_(- 1)^1 ((2 x + 6) d x)/(x^2 + 2 x + 5) d x = [ln |x^2 + 2 x + 5| + 2 tan^(- 1) ((x + 1)/(2))]_(- 1)^1

= [ln |1^2 + 2 + 5| + 2 tan^(- 1) ((1 + 1)/(2))] - [ln |( - 1 )^2 + 2 ( - 1 ) + 5| + 2 tan^(- 1) ((( - 1 ) + 1)/(2))]

= ln 8 + 2 tan^(- 1) (1) - ln 4 - 2 tan^(- 1) (0)

= ln 2^3 + 2 ((pi)/(4)) - ln 2^2 - 2 ( 0 )

= 3 ln 2 - 2 ln 2 + (pi)/(2) = ln 2 + (pi)/(2)

int_(- 1)^1 ((2 x + 6) d x)/(x^2 + 2 x + 5) d x = ln 2 + (pi)/(2)

Fechamos, pessoal.

Resposta

int_(- 1)^1 ((2 x + 6) d x)/(x^2 + 2 x + 5) d x = ln 2 + (pi)/(2)

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