Calcule a integral definida:

∫ - 1 1 2 x + 6 d x x 2 + 2 x + 5 d x

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok?

A primeira coisa que vamos fazer é separar essa integral em duas, da seguinte forma:

∫ 2 x + 6 d x x 2 + 2 x + 5 = ∫ ( 2 x + 2 ) + 4 d x x 2 + 2 x + 5 = ∫ 2 x + 2 d x x 2 + 2 x + 5 + ∫ 4 d x x 2 + 2 x + 5

Ok? Vamos resolver uma de cada vez agora.

Passo 2

Primeiro vamos resolver:

∫ 2 x + 2 d x x 2 + 2 x + 5

Aqui faremos uma substituição chamando u = x 2 + 2 x + 5 e derivando, temos:

d u = 2 x + 2 d x

Que é justamente o que temos no numerador, ok?

Sendo assim, podemos trocar a variável da integral e obter uma mais simples.

∫ 2 x + 2 d x x 2 + 2 x + 5 = ∫ d u u

A integral em u é imediata, pessoal!

∫ d u u = ln ⁡ u + C

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois u = x 2 + 2 x + 5 .

∫ 2 x + 2 d x x 2 + 2 x + 5 = ln ⁡ x 2 + 2 x + 5 + C

Passo 3

Agora vamos resolver:

∫ 4 d x x 2 + 2 x + 5

Para resolver essa, nós vamos precisar completar quadrado no denominador.

x 2 + 2 x + 5 = ( x 2 + 2 x + 1 ) + 4

= x + 1 2 + 4

Pronto, agora trocamos na integral:

∫ 4 d x x 2 + 2 x + 5 = 4 ∫ d x x + 1 2 + 4

Pessoa, temos que tentar deixar esse denominador na forma h 2 + 1 , aí vira uma integral imediata. Para isso eu vou deixar o 4 , em evidência.

x + 1 2 + 4 = 4 x + 1 2 4 + 1 = 4 x + 1 2 2 2 + 1 = 4 x + 1 2 2 + 1

Fechou! Vamos trocar na integral.

4 ∫ d x x + 1 2 + 4 = 4 ∫ d x 4 x + 1 2 2 + 1 = ∫ d x x + 1 2 2 + 1

Aqui faremos uma substituição chamando h = x + 1 2 e derivando temos:

d h = 1 2 d x   →     2 d h = d x

E com isso temos a integral:

∫ d x x + 1 2 2 + 1 = ∫ 2 d h h 2 + 1 = 2 ∫ d h h 2 + 1

A integral em h é imediata, pessoal!

2 ∫ d h h 2 + 1 = 2 tan - 1 ⁡ h + C

Pois ( tan - 1 ⁡ h ) ' = 1 h 2 + 1 .

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois h = x + 1 2 .

∫ 4 d x x 2 + 2 x + 5 = 2 tan - 1 ⁡ x + 1 2 + C

Passo 4

Agora vamos substituir as integrais do passo 3 e 4 na integral inicial:

∫ 2 x + 6 d x x 2 + 2 x + 5 = ∫ 2 x + 2 d x x 2 + 2 x + 5 + ∫ 4 d x x 2 + 2 x + 5

∫ 2 x + 6 d x x 2 + 2 x + 5 = ln ⁡ x 2 + 2 x + 5 + 2 tan - 1 ⁡ x + 1 2 + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ - 1 1 2 x + 6 d x x 2 + 2 x + 5 d x = ln ⁡ x 2 + 2 x + 5 + 2 tan - 1 ⁡ x + 1 2 - 1 1

= ln ⁡ 1 2 + 2 + 5 + 2 tan - 1 ⁡ 1 + 1 2 - ln ⁡ ( - 1 ) 2 + 2 ( - 1 ) + 5 + 2 tan - 1 ⁡ ( - 1 ) + 1 2

= ln ⁡ 8 + 2 tan - 1 ⁡ 1 - ln ⁡ 4 - 2 tan - 1 ⁡ 0

= ln ⁡ 2 3 + 2 π 4 - ln ⁡ 2 2 - 2 ( 0 )

= 3 ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 2 + π 2 = ln ⁡ 2 + π 2

∫ - 1 1 2 x + 6 d x x 2 + 2 x + 5 d x = ln ⁡ 2 + π 2

Fechamos, pessoal.

Resposta

∫ - 1 1 2 x + 6 d x x 2 + 2 x + 5 d x = ln ⁡ 2 + π 2

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