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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 32b

Calcule

int (x^2)/((x^2 + a^2)^((3)/(2))) d x

(b) pela substituição hiperbólica x = a sinh (t)

Passo 1

Bom, pra começar, vamos fazer a seguinte substituição, vamos dizer que

x = a sinh (t)

Diferenciando, temos

d x = a cosh (t) d t

Então, substituindo na nossa integral, temos que

int (x^2)/((x^2 + a^2)^((3)/(2))) d x = int (a^2 sinh^2 (t))/((a^2 sinh^2 (t) + a^2)^((3)/(2))) a cosh (t) d t = int (a^2 sinh^2 (t))/((a^2 ( sinh^2 (t) + 1 ))^((3)/(2))) a cosh (t) d t

Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: 1 + sinh^2 (t) = cosh^2 (t)

int (a^2 sinh^2 (t))/((a^2 ( sinh^2 (t) + 1 ))^((3)/(2))) a cosh (t) d t = int (a^2 sinh^2 (t))/((a^2 cosh^2 (t))^((3)/(2))) a cosh (t) d t = int (a^2 sinh^2 (t))/(a^3 cosh^3 (t)) a cosh (t) d t = int tanh^2 (t) d t

Precisamos lembrar também de outra propriedade trigonométrica: tanh^2 (t) = 1 - sech^2 (t)

int tanh^2 (t) d t = int ( 1 - sech^2 (t) ) d t = t - t a n h ( t ) + c

Passo 2

Agora, precisamos encontrar uma expressão para t e para t a n h ( t ) , no ínicio, dissemos que

x = a sinh (t)

Então

t = sinh^(- 1) ((x)/(a))

Vamos calcular a seguinte expressão

sqrt(x^2 + a^2) = sqrt(a^2 sinh^2 (t) + a^2) = sqrt(a^2 (sinh^2 (t) + 1)) = sqrt(a^2 cosh^2 (t)) = a cosh (t)

Então, temos que

cosh (t) = (sqrt(x^2 + a^2))/(a)

Agora, vamos fazer

tan (t) = (sin (t))/(cos (t)) = ((x)/(a))/((sqrt(x^2 + a^2))/(a)) = (x)/(a) * (a)/(sqrt(x^2 + a^2)) = (x)/(sqrt(x^2 + a^2))

Passo 3

Então, podemos substituir no resultado

t - tanh (t) + c = sinh^(- 1) ((x)/(a)) - (x)/(sqrt(x^2 + a^2)) + c

Resposta

int (x^2)/((x^2 + a^2)^((3)/(2))) d x = sinh^(- 1) ((x)/(a)) - (x)/(sqrt(x^2 + a^2)) + c

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