Calcule

∫ x 2 x 2 + a 2 3 2 d x

(b) pela substituição hiperbólica x = a \* sinh(t)

Passo 1

Bom, pra começar, vamos fazer a seguinte substituição, vamos dizer que

x = a sinh ⁡ t

Diferenciando, temos

d x = a cosh ⁡ t d t

Então, substituindo na nossa integral, temos que

∫ x 2 x 2 + a 2 3 2 d x = ∫ a 2 sinh 2 ⁡ t a 2 sinh 2 ⁡ t + a 2 3 2 a cosh ⁡ t d t = ∫ a 2 sinh 2 ⁡ t a 2 ( sinh 2 ⁡ t + 1 ) 3 2 a cosh ⁡ t d t

Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: 1 + sinh  2 ⁡ t = cosh 2 ⁡ t

∫ a 2 sinh 2 ⁡ t a 2 ( sinh 2 ⁡ t + 1 ) 3 2 a cosh ⁡ t d t = ∫ a 2 sinh 2 ⁡ t a 2 cosh 2 ⁡ t 3 2 a cosh ⁡ t d t = ∫ a 2 sinh 2 ⁡ t a 3 cosh 3 ⁡ t a cosh ⁡ t d t = ∫ tanh 2 ⁡ t d t

Precisamos lembrar também de outra propriedade trigonométrica: tanh 2 ⁡ t = 1 - sech 2 ⁡ t

∫ tanh 2 ⁡ t d t = ∫ ( 1 - sech 2 ⁡ t ) d t = t - t a n h ⁡ ( t ) + c

Passo 2

Agora, precisamos encontrar uma expressão para t e para t a n h ⁡ ( t ) , no ínicio, dissemos que

x = a sinh ⁡ t

Então

t = sinh - 1 ⁡ x a

Vamos calcular a seguinte expressão

x 2 + a 2 = a 2 sinh 2 ⁡ t + a 2 = a 2 sinh 2 ⁡ t + 1 = a 2 cosh 2 ⁡ t = a cosh ⁡ t

Então, temos que

cosh ⁡ t = x 2 + a 2 a

Agora, vamos fazer

tan ⁡ t = sin ⁡ t cos ⁡ t = x a x 2 + a 2 a = x a ⋅ a x 2 + a 2 = x x 2 + a 2  

Passo 3

Então, podemos substituir no resultado

t - tanh ⁡ t + c = sinh - 1 ⁡ x a - x x 2 + a 2 + c

Resposta

∫ x 2 x 2 + a 2 3 2 d x = sinh - 1 ⁡ x a - x x 2 + a 2 + c

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