Calcule int (x^2)/((x^2 + a^2)^((3)/(2))) d x (b) pela substituição hiperbólica x = a sinh (t)

int (x^2)/((x^2 + a^2)^((3)/(2))) d x = sinh^(- 1) ((x)/(a)) - (x)/(sqrt(x^2 + a^2)) + c

Enunciado

Bom, pra começar, vamos fazer a seguinte substituição, vamos dizer que

Diferenciando, temos

Então, substituindo na nossa integral, temos que

Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

Precisamos lembrar também de outra propriedade trigonométrica:

Agora, precisamos encontrar uma expressão para e para , no ínicio, dissemos que

Então

Vamos calcular a seguinte expressão

Então, temos que

Agora, vamos fazer

Então, podemos substituir no resultado