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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 51

  1. Use a substituição hiperbólica x = 3 senh ⁡ u , a identidade cosh 2 ⁡ u - senh 2 ⁡ u = 1 e o Teorema 6.9 . 4 para calcular

    2. ∫ d x x 2 + 9

  2. Calcule a integral em (a) usando uma substituição trigonométrica e mostre que o resultado confere com o obtido em (a).

Passo 1

  1. Vamos fazer a substituição, usando:

    2. x = 3 senh ⁡ u → u = senh - 1 ⁡ x 3

    Vamos agora achar diferencial de x , derivando:

    d x = 3 cosh ⁡ u d u

    Fazendo a substituição ficamos com:

    ∫ d x x 2 + 9 d x = ∫ 3 cosh ⁡ u d u 3 senh ⁡ u 2 + 9 = ∫ 3 cosh ⁡ u d u 9 senh 2 ⁡ u + 9 = ∫ 3 cosh ⁡ u d u 9 senh 2 ⁡ u + 1 =

    = ∫ 3 cosh ⁡ u d u 3 senh 2 ⁡ u + 1 = ∫ cosh ⁡ u d u senh 2 ⁡ u + 1

    Usando agora a identidade:

    ∫ cosh ⁡ u d u senh 2 ⁡ u + 1 = ∫ cosh ⁡ u d u cosh 2 ⁡ u = ∫ cosh ⁡ u d u cosh ⁡ u = ∫ d u

    Passo 2

    Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ c d x = c x + C

    Aplicando:

    ∫ d u = u + C

    Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

    ∫ d x x 2 + 9 = ∫ d u = u + C = senh - 1 ⁡ x 3 + C

    Passo 3

  2. Vamos fazer a substituição, usando:

x = 3 tg ⁡ θ → x = arctg ⁡ x 3

Vamos agora achar diferencial de x , derivando:

d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ d x x 2 + 9 d x = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ d θ 3 tg ⁡ θ 2 + 9 = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ d θ 9 tg 2 ⁡ θ + 9 = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ d θ 9 tg 2 ⁡ θ + 1 = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ d θ 3 tg 2 ⁡ θ + 1

Vamos agora usar a identidade tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ :

∫ 3 sec 2 ⁡ θ d θ 3 tg 2 ⁡ θ + 1 = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec ⁡ θ = ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 2

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Aplicando:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , temos que x = 3 tg ⁡ θ e pela imagem abaixo vamos achar sec ⁡ θ :

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 3 x 2 + 9 = x 2 + 9 3

Substituindo temos:

∫ d x x 2 + 9 = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C = ln ⁡ x 2 + 9 3 + x 3 + C

Temos também que:

senh - 1 ⁡ x 3 = ln ⁡ x 3 + x 2 9 + 1 = ln ⁡ x 3 + x 2 + 9 9 = ln ⁡ x 3 + x 2 + 9 9 =

= ln ⁡ x 3 + x 2 + 9 3

Assim a nossa integral fica:

∫ d x x 2 + 9 = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C = ln ⁡ x 2 + 9 3 + x 3 + C = senh - 1 ⁡ x 3 + C

Resposta

  1. ∫ d x x 2 + 9 = senh - 1 ⁡ x 3 + C
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