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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 20

Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n [ 4 - 3 x i * 2 + 6 x i * 5 ] . ∆ x                     [ 0 ,   2 ]

Passo 1

Muito bem galera, nós queremos expressar o limite na forma de uma integral, definida no intervalo [ 0 ,   2 ] .

Nessa questão temos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n [ 4 - 3 x i * 2 + 6 x i * 5 ] . ∆ x

E devemos expressa-lo como uma integral definida no intervalo dado:

[ 0,2 ]

Pela definição, a integral de uma função f ( x ) em um intervalo [ a , b ] pode ser representada por uma soma de Riemann com número de intervalos tendendo ao infinito, da seguinte maneira:

[ I = ∫ a b f x   d x ]

onde ( a ) representa o limite inferior de integração, b representa o limite superior de integração, f x é a função subintegral, e a , b é o intervalo.

A definição do limite da integral definida é

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

onde

[ Δ x = b - a n ,   x i = a + i Δ x ]

Beem fácil, certo?!

Passo 2

Comparando então com a fórmula do enunciado temos que nossa função é:

f x = 4 - 3 x 2 + 6 x 5

E nosso intervalo [ a , b ] é [ 0,2 ] . Então a soma é igual a integral a seguir:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n [ 4 - 3 x i * 2 + 6 x i * 5 ] . ∆ x = ∫ 0 2 [ 4 - 3 x ² + 6 x 5 ] . d x

Onde Δ x e x i * valem:

Δ x = b - a n = 2 - 0 n

Δ x = 2 n

x i * = a + i Δ x

x i * = 2 i n

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n [ 4 - 3 x i * 2 + 6 x i * 5 ] . ∆ x = ∫ 0 2 [ 4 - 3 x ² + 6 x 5 ] . d x

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