Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n [ 4 - 3 x i * 2 + 6 x i * 5 ] . ∆ x [ 0 ,2 ]

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n [ 4 - 3 x i * 2 + 6 x i * 5 ] . ∆ x = ∫ 0 2 [ 4 - 3 x ² + 6 x 5 ] . d x ²

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 20

Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.

Passo 1

Muito bem galera, nós queremos expressar o limite na forma de uma integral, definida no intervalo

Nessa questão temos o seguinte limite

E devemos expressa-lo como uma integral definida no intervalo dado:

Pela definição, a integral de uma função em um intervalo pode ser representada por uma soma de Riemann com número de intervalos tendendo ao infinito, da seguinte maneira:

onde representa o limite inferior de integração, representa o limite superior de integração, é a função subintegral, e é o intervalo.

A definição do limite da integral definida é

onde

Beem fácil, certo?!

Passo 2

Comparando então com a fórmula do enunciado temos que nossa função é:

E nosso intervalo é . Então a soma é igual a integral a seguir:

Onde e valem:

Resposta

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Seja A área sob o gráfico de uma função contínua crescente f de a até b , e sejam L n e R n as aproximações para A , com n subintervalos usando extremidades esquerdas e direitas, respectivamente. Como

Use a definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite. f x = 2 x x 2 + 1,1 ≤ x ≤ 3 .

b) Encontre novas estimativas usando 8 retângulos.

Lendo os valores do gráfico dado de f , utilize quatro retângulos para encontrar as estimativas inferior e superior para a área sob o gráfico dado de f de x = 0 ate x = 8 . Em cada caso, esboce os ret

a) Faça o gráfico da função f x = x - 2 ln ⁡ x,1 ≤ x ≤ 5 b) Estime a área sob o gráfico de f usando quatro retângulos aproximantes e tomando como pontos amostrais ( i ) as extremidades direitas e ( i