Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 69

Faça uma substituição u dada por (5) para converter o integrando em uma função racional de u e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente de (a).

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x

Passo 1

Usaremos como substituição:

u = tg ⁡ x 2

sen ⁡ x   = 2 u 1 + u 2

tg ⁡ x   = 2 u 1 - u 2

d x = 2 1 + u 2 d u  

Portanto:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 1 2 u 1 + u 2 + 2 u 1 - u 2 2 1 + u 2 d u

Então:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 2 1 + u 2 2 u 1 - u 2 + 2 u ( 1 + u 2 ) ( 1 + u 2 ) ( 1 - u 2 ) d u = ∫ 2 1 + u 2 4 u ( 1 + u 2 ) ( 1 - u 2 ) d u

Podemos dizer que:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 2 ( 1 + u 2 ) ( 1 - u 2 ) 4 u ( 1 + u 2 ) d u = ∫ ( 1 - u 2 ) 2 u d u = ∫ 1 2 u - u 2 2 u d u

Simplificando, temos:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 1 2 u - u 2 d u

Resolvendo:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ u - u 2 4 + C  

Substituindo u = tg ⁡ x 2 :

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 - tg ⁡ x 2 2 4 + C

Passo 2

Utilizando um CAS:

Resposta

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 - tg ⁡ x 2 2 4 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1 - 6 . Calcule a integral fazendo a substituição dada: 6 .∫ sec 2 ⁡ 1 x x 2 d x ,u = 1 x
Calcule a integral definida. ∫ 0 π x cos ⁡ ( x 2 )d x
Calcule a integral int c o t g x ln (s e n x) d x .
Calcule a integral int x^2 t g^(- 1) x d x .
Calcule a integral int (x)/(1 - x^2 + sqrt(1 - x^2)) d x .