Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 69

Faça uma substituição u dada por (5) para converter o integrando em uma função racional de u e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente de (a).

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x

Passo 1

Usaremos como substituição:

u = tg ⁡ x 2

sen ⁡ x   = 2 u 1 + u 2

tg ⁡ x   = 2 u 1 - u 2

d x = 2 1 + u 2 d u  

Portanto:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 1 2 u 1 + u 2 + 2 u 1 - u 2 2 1 + u 2 d u

Então:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 2 1 + u 2 2 u 1 - u 2 + 2 u ( 1 + u 2 ) ( 1 + u 2 ) ( 1 - u 2 ) d u = ∫ 2 1 + u 2 4 u ( 1 + u 2 ) ( 1 - u 2 ) d u

Podemos dizer que:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 2 ( 1 + u 2 ) ( 1 - u 2 ) 4 u ( 1 + u 2 ) d u = ∫ ( 1 - u 2 ) 2 u d u = ∫ 1 2 u - u 2 2 u d u

Simplificando, temos:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = ∫ 1 2 u - u 2 d u

Resolvendo:

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ u - u 2 4 + C  

Substituindo u = tg ⁡ x 2 :

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 - tg ⁡ x 2 2 4 + C

Passo 2

Utilizando um CAS:

Resposta

∫ 1 sen ⁡ x + tg ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 - tg ⁡ x 2 2 4 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os sistemas algébricos computacionais algumas vezes precisam de uma mão dos seres humanos. Peça a seu CAS para avaliar ∫ 2 x ⋅ 4 x - 1 d x Se ele não responder, peça para tentar ∫ 2 x ⋅ 2 2 x + 1 d x
Utiliza a tabela de integrais no fim do livro para avaliar a integral. ∫ d x e x ⋅ ( 1 + 2 e x )
Use um sistema algébrico computacional para avaliar a integral. Compare a resposta com o resultado usando as tabelas. Se as respostas forem diferentes mostre que elas são equivalentes. ∫ x 5 ⋅ x 2 + 1
Utiliza a tabela de integrais no fim do livro para avaliar a integral. ∫ e x ⋅ s e c h ⁡ ( e x ) d x
Utiliza a tabela de integrais no fim do livro para avaliar a integral. ∫ 0 π x 2 ⋅ c o s ⁡ ( 3 x ) d x