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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 3

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ ( a x 4 + b x 3 + 3 c ) d x

Passo 1

Pra resolver essas integrais de polinômio, o que a gente aprendeu é que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Ou seja, a integral de uma potência de x de um certo grau vai ser o x , com o grau aumentado em 1 , dividido por esse grau novo. Sacou? Isso só não serve pra quando o grau original era - 1 , porque aí o n + 1 dá 0 , e isso dá ruim, já que dividir por 0 é um crime!

Passo 2

Nossa integral vai ficar assim, se a gente separar:

∫ ( a x 4 + b x 3 + 3 c ) d x = ∫ a x 4 d x + ∫ b x 3 d x + ∫ 3 c d x

Botando as constantes pra fora:

∫ ( a x 4 + b x 3 + 3 c ) d x = a ∫ x 4 d x + b ∫ x 3 d x + 3 c ∫ d x

Pra primeira integral:

a ∫ x 4 d x = a x 4 + 1 4 + 1 + C 1 = a x 5 5 + C 1

Pra segunda:

b ∫ x 3 d x = b x 3 + 1 3 + 1 + C 2 = b x 4 4 + C 2

Pra terceira, que é a integral do x 0 :

3 c ∫ d x = 3 c x 0 + 1 0 + 1 + C 3 = 3 c x + C 3

Juntando as três, vamos ter três constantes somando, que podem ser agrupadas em uma constante só.

∫ ( a x 4 + b x 3 + 3 c ) d x = a x 5 5 + b x 4 4 + 3 c x + C

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. Separando em partes:

d d x a x 5 5 + b x 4 4 + 3 c x + C = d d x a x 5 5 + d d x b x 4 4 + d d x 3 c x + d d x ( C )

Derivando,

d d x a x 5 5 + b x 4 4 + 3 c x + C = 5 a x 4 5 + 4 b x 4 4 + 3 c x 0 + 0

Arrumando,

d d x a x 5 5 + b x 4 4 + 3 c x + C = a x 4 + b x 3 + 3 c

Resposta

∫ ( a x 4 + b x 3 + 3 c ) d x = a x 5 5 + b x 4 4 + 3 c x + C

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