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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 8

Calcule a integral dupla.

∬ D 2 x + y d A ,       D = x , y | 1 ≤ y ≤ 2 ,   y - 1 ≤ x ≤ 1  

Passo 1

E aí, amigos! Tudo certinho?

A questão quer o valor da integral dupla:

∬ D 2 x + y d A

Onde D é:

D = x , y | 1 ≤ y ≤ 2 ,   y - 1 ≤ x ≤ 1  

Para calcular integrais duplas usamos o Teorema de Fubini:

Se f for contínua no retângulo D = x , y | a ≤ x ≤ b ,   c ≤ y ≤ d   , então:

∬ D f x , y   d A = ∫ a b ∫ c d f x , y   d y   d x = ∫ c d ∫ a b f x , y   d x   d y

Nós podemos escolher qual variável vamos integrar primeiro. Essa escolha vai depender de qual ordem vai deixar nosso cálculo de integral mais simples.

Para os limites de integração da nossa série, o enunciado nos dá:

y - 1 ≤ x ≤ 1

E:

  1 ≤ y ≤ 2

São nossos intervalos de integração da integral dupla. Como o intervalo de integração para x tem termos dependentes de y , vamos colocar a integral de x como a integral “de dentro”, já que isso simplifica nosso cálculo. Então, teremos:

∫ 1 2 ∫ y - 1 1 2 x + y d x d y

Vamos resolver? Bora!

Passo 2

∬ D 2 x + y d A = ∫ 1 2 ∫ y - 1 1 2 x + y d x d y

Primeiro, vamos integrar a função com relação a x e considerar y como uma constante, pois a integral “de dentro” é em relação a x e fazemos esse cálculo de dentro pra fora. Vamos resolver a integral com relação a x :

∫ y - 1 1 2 x + y d x = 2 x 2 2 + y x y - 1 1

Simplificando:

∫ y - 1 1 2 x + y d x = x 2 + y x y - 1 1

Aplicando os limites de integração 1 e y - 1 em x e tratando y como constante:

∫ y - 1 1 2 x + y d x = 1 2 + y 1 - y - 1 2 + y y - 1

Fazendo as multiplicações:

∫ y - 1 1 2 x + y d x = 1 + y - y - 1 2 - y 2 + y

Fazendo a fatoração: y - 1 2 = y 2 - 2 y + 1 , teremos:

∫ y - 1 1 2 x + y d x = 1 + y - y 2 - 2 y + 1 - y 2 + y

Simplificando a soma de termos:

∫ y - 1 1 2 x + y d x = - 2 y 2 + 4 y

Logo:

∫ 1 2 ∫ y - 1 1 2 x + y d x d y = ∫ 1 2 - 2 y 2 + 4 y d y

Pronto, resolvemos a integral de dentro. Agora o resultado dela é nosso integrando em relação a y .

Passo 3

Agora é só resolver. Portanto:

∫ 1 2 - 2 y 2 + 4 y d y = - 2 y 3 3 + 4 y 2 2 1 2

Aplicando os limites de integração:

∫ 1 2 - 2 y 2 + 4 y d y = - 2 3 2 3 + 4 2 2 2 - - 2 3 1 3 + 4 2 1 2

Fazendo as potenciações e multiplicações:

∫ 1 2 - 2 y 2 + 4 y d y = - 16 3 + 8 - - 2 3 + 2

∫ 1 2 - 2 y 2 + 4 y d y = - 16 3 + 8 + 2 3 - 2

Ficamos com:

∫ 1 2 - 2 y 2 + 4 y d y = 4 3

Então, o resultado final da integral dupla é:

∫ 1 2 ∫ y - 1 1 2 x + y d x d y = 4 3

E:

∬ D 2 x + y d A = 4 3

Resposta

∬ D 2 x + y d A = 4 3

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