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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 24

Calcular a área da região delimitada por

y = sqrt(4 - x^2) , y = x , y = 2 x

Passo 1

Como o exercício se trata do cálculo de áreas a primeira coisa que deve nos vir a cabeça é a palavra integral. Pois a integral é a área com sinal.

Lembra como é o cálculo da área entre duas funções ??

Se f (x) >= g (x) para vvv x in [a , b] então A ( á r e a e n t r e o s g r á f i c o s ) é calculada por:

A = int_a^b (f (x) - g (x)) d x

Passo 2

Nossa área delimitada será a seguinte :

Os pontos de intersecção são :

x = sqrt(4 - x^2) -> (sqrt(2) , sqrt(2))

2 x = sqrt(4 - x^2) -> ((2)/(sqrt(5)) , (4)/(sqrt(5)))

x = 2 x -> ( 0,0 )

Passo 3

Portanto a área do gráfico delimitada pode ser calculada por meio de coordenadas polares:

int_(pi // 4)^(a r c t g 2) int_0^2 r d r d t = int_(pi // 4)^(a r c t g 2) 2 d t = 2 (a r c t g 2 - (pi)/(4))

Resposta

2 (a r c t g 2 - (pi)/(4))

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