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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 9c

Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.

Passo 1

Através da integral dupla, tem-se que a área de um conjunto é dada por:

A = ∫ ∫ B d x d y

Ou:

A = ∫ a b ∫ c y d y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado pelas inequações x y ≤ 2 e x ≤ y ≤ x + 1 . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

0 ≤ x ≤ 1

Tal que o valor de y será determinado nesta parte por:

x ≤ y ≤ 1 + x

E:

1 ≤ x ≤ 2

E, para determinar o valor de y neste caso:

x ≤ y ≤ 2 x

Passo 2

Logo, a área será dada por:

A = ∫ 0 1 ∫ x 1 + x d y d x + ∫ 1 2 ∫ x 2 / x d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

A = ∫ 0 1 y | y = 1 + x y = x d x + ∫ 1 2 y | y = 2 / x y = x d x

Substituindo o intervalo de integração:

A = ∫ 0 1 1 + x - x d x + ∫ 1 2 2 x - x d x

A = ∫ 0 1 1 d x + ∫ 1 2 2 x - x d x

Passo 3

Agora, integrando em relação à x :

A = x | x = 1 x = 0 + 2 ln ⁡ x - x 2 2 | x = 2 x = 1

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

A = 1 - 0 + 2 ln ⁡ 2 - 2 2 2 - 2 ln ⁡ 1 + 1 2

A = 1 + ln ⁡ 2 2 - 1 2

A = ln ⁡ 2 + 1 2

Resposta

ln ⁡ 2 + 1 2

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Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla ∬ D x + 2 d A D = x , y | 0 ≤ y ≤ 9 - x 2
Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. ∬ D x d A D é limitada pelas retas y = x , y = 0 , x = 1 .
∫ 0 1 ∫ 2 x 2 x - y d y d x
Calcule a integral dupla. ∬ D ( x 2 + 2 y ) d A D é limitada por y = x , y = x 3 , x ≥ 0 .
Calcule a integral dupla. ∬ D y x 5 + 1 d A D = x , y 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ x 2 }