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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 24

Determine o volume do sólido dado.

Abaixo da superfície z = 1 + x 2 y 2 e acima da região limitada por x = y 2 e x = 4

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:

V = ∬ D f x , y d A

Onde D é a região limitada na qual devemos integrar a função.

Temos que a equação da superfície é dada por:

z = f x , y = 1 + x 2 y 2

Para encontrar os limites de integração vamos relacionar as parábolas dadas:

y 2 = 4

y = ± 2

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | - 2 ≤ y ≤ 2 ,   y 2 ≤ x ≤ 4

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ - 2 2 ∫ y 2 4 f ( x , y ) d x d y

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ - 2 2 ∫ y 2 4 1 + x 2 y 2 d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ y 2 4 1 + x 2 y 2 d x = x + x 3 y 2 3 y 2 4

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ y 2 4 1 + x 2 y 2 d x = 4 + 4 3 y 2 3 - y 2 + y 2 3 y 2 3

∫ y 2 4 1 + x 2 y 2 d x = 4 + 64 3 y 2 - y 2 + y 8 3

∫ y 2 4 1 + x 2 y 2 d x = 4 + 61 3 y 2 + y 8 3  

Logo, substituindo, temos:

V = ∫ - 2 2 ∫ y 2 4 1 + x 2 y 2 d x d y = ∫ - 2 2 4 + 61 3 y 2 + y 8 3   d y

Passo 3

Agora é só resolver:

V = ∫ - 2 2 4 + 61 3 y 2 + y 8 3   d y = 4 y + 61 3 y 3 3 + 1 3 y 9 9 - 2 2

V = ∫ - 2 2 4 + 61 3 y 2 + y 8 3   d y = 4 y + 61 6 y 3 + y 9 27 - 2 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ - 2 2 4 + 61 3 y 2 + y 8 3   d y = 4 2 + 61 6 2 3 + 2 9 27 - 4 - 2 + 61 6 - 2 3 + - 2 9 27

∫ - 2 2 4 + 61 3 y 2 + y 8 3   d y = 8 + 488 6 + 512 3 + 8 + 488 6 + 512 3

Resolvendo, temos:

∫ - 2 2 4 + 61 3 y 2 + y 8 3   d y = 2336 27

Portanto, o volume será:

V = 2336 27

Resposta

V = 2336 27

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Determine a área da superfície.A parte do plano z = 2 + 3 x + 4 y que está acima do retângulo 0,5 × 1,4 .