Calcule a integral iterada.

15.

∫ 1 4 ∫ 0 2 6 x 2 y + 2 x d y d x

Passo 1

Faaala, gente bonita!

O enunciado jogou na cara da gente uma integral top e quer o resultado dela.

A gente vai integrar em y primeiro e depois em x . Show??

Pela ordem de integração, vamos integrar primeiro em relação a y :

∫ 0 2 6 x 2 y + 2 x d y

Aqui, teremos:

6 x 2 y 2 2 + 2 x y 2 0

Resolvendo,

6 x 2 ⋅ 2 2 2 + 2 x ⋅ 2 - 6 x 2 ⋅ 0 2 2 + 2 x ⋅ 0

= 12 x 2 + 4 x

Passo 2

Vamos resolver a integral de fora, agora. Ou seja, em relação a x .

∫ 1 4 12 x 2 + 4 x   d x

= 12 x 3 3 + 4 x 2 2 4 1

= 4 x 3 + 2 x 2 1 4

= 4 ⋅ 4 3 + 2 ⋅ 4 2 - 4 ⋅ 1 3 + 2 ⋅ 1 2

= 282

E... pronto😉

Resposta

∫ 1 4 ∫ 0 2 6 x 2 y + 2 x d y d x = 282

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