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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 32

Calcule a integral dupla.

32.

∬ R x 1 + x y d A     ; R = 0,1 × 0,1

Passo 1

Fala, galera!

Olha só, a questão nos deu uma integral dupla pra gente resolver. E nos deu informações a respeito dos limites de integração também!

Sei que elas aparecem de um jeito diferente, mas é bem tranquilo.

Vamos montar a integral iterada com os limites de integração:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y   d y d x

Passo 2

Vamos começar integrando de dentro para fora, beleza?

Ou seja, vamos começar com:

∫ 0 1 x 1 + x y   d y

Pelo método da substituição, chamamos t = 1 + x y , d t = x d y , e d y = d t x .

∫ 0 1 x t d t x = ∫ 0 1 1 t d t

Isso resultará em:

ln ⁡ t 0 1 → ln ⁡ ( 1 + x y ) 0 1

Assim,

ln ⁡ 1 + x ⋅ 1 - ln ⁡ 1 + x ⋅ 0

l n ⁡ ( 1 + x )

Passo 3

Beleza! Vamos integrar em x agora...

∫ 0 1 ln ⁡ 1 + x d x

Pelo método da substituição também, vou chamar t = 1 + x , d t = d x , assim:

∫ 0 1 ln ⁡ t d t

Neste caso, iremos usar a integração por partes.

Vou definir u = ln ⁡ t , d u = 1 t d t   e d v = d t , v = t . Vamos jogar na fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

ln ⁡ t ⋅ t - ∫ t ⋅ 1 t d t

ln ⁡ t ⋅ t - ∫ 1 d t

ln ⁡ t ⋅ t - t

Agora retornando os valores para t = 1 + x :

ln ⁡ 1 + x ⋅ 1 + x - 1 + x

Colocando nossos limites de integração:

ln ⁡ 1 + x ⋅ 1 + x - 1 + x 0 1

[ ln ⁡ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 - 1 + 1 ] - [ ln ⁡ 1 + 0 ⋅ 1 + 0 - 1 + 0 ]

2 ln ⁡ 2 - 1

Prontinho!!

Resposta

2 ln ⁡ 2 - 1

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