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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 1c

Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais

c.

∫ 0 π 2 ∫ cos ⁡ x 1 f x , y d y d x

Passo 1

Oii, estamos agora embarcando no mundo das integrais. Como você muito bem sabe, uma interpretação geométrica de integrais é o cálculo de áreas. Assim os intervalos de integração nos dizem que região do Plano estamos. E olha que bacana. Não importa a ordem de integração o valor final SEMPRE tem que ser o mesmo. Assim podemos ser bacana em algumas ocasiões nós manipularmos quais variáveis vamos integrar primeiro, pense sempre em poupar esforço!

Passo 2

No nosso caso temos

∫ 0 π 2 ∫ cos ⁡ x 1 f x , y d y d x

Vamos começar pelo mais fácil. Temos que x varia entre as retas x = 0 e x = π 2 . E y varia entre as curvas y = cos ⁡ x e y = 1 . Com isso nossa região no plano é

A interseção das 4 curvas. Se você ficar em duvida em identificar é so pensar “ y começa em cos(x) e term 1” logo a região é

Inverter a região de integração

Podemos fazer y = 0,1 . Agora o intervalo de x temos que deixar em função de y. Assim ficamos com

y = cos ⁡ x

x = arccos ⁡ ( y )

Então x varia arccos ⁡ y ,   π 2 . Com isso nossa integração fica

∫ 0 π 2 ∫ cos ⁡ x 1 f x , y d y d x = ∫ 0 1 ∫ arc cos ⁡ y π 2 f x , y d x d y

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ cos ⁡ x 1 f x , y d y d x = ∫ 0 1 ∫ arccos ⁡ y π 2 f x , y d x d y

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