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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 19

Calcule a integral dupla.

∬_D^() y^2 d A , D é a r e g i ã o t r i a n g u l a r c o m v é r t i c e s (0,1) , (1,2) , ( 4,1 )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Bom... Nos é dito que D é uma região triangular com vértices (0,1) , (1,2) e ( 4,1 ) .

Vamos descobrir as equações de linha que unem (0,1) e (1,2) . Temos:

y - 1 = (2 - 1)/(1 - 0) (x - 0)

y - 1 = (1)/(1) x

Logo:

x = y - 1

Agora vamos descobrir a equação que une os pontos (1,2) e (4,1) :

y - 2 = (1 - 2)/(4 - 1) (x - 1)

y - 2 = - (1)/(3) (x - 1)

3 y - 6 = - x + 1

Logo:

x = 7 - 3 y

Passo 2

Portanto, temos que:

D = {(x , y) | 1 <= y <= 2 , y - 1 <= x <= 7 - 3 y}

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

∬_D^() y^2 d A = int_1^2 int_(y - 1)^(7 - 3 y) y^2 d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

int_(y - 1)^(7 - 3 y) y^2 d x = y^2 [x]_(y - 1)^(7 - 3 y)

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

int_(y - 1)^(7 - 3 y) y^2 d x = y^2 [(7 - 3 y) - (y - 1)]

int_(y - 1)^(7 - 3 y) y^2 d x = y^2 [8 - 4 y]

int_(y - 1)^(7 - 3 y) y^2 d x = 8 y^2 - 4 y^3

Logo, substituindo, temos:

int_1^2 int_(y - 1)^(7 - 3 y) y^2 d x d y = int_1^2 (8 y^2 - 4 y^3) d y

Passo 3

Agora é só resolver:

int_1^2 (8 y^2 - 4 y^3) d y = [(8 y^3)/(3) - (4 y^4)/(4)]_1^2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

int_1^2 (8 y^2 - 4 y^3) d y = [(8 (2)^3)/(3) - (2)^4] - [(8 (1)^3)/(3) - (1)^4]

Resolvendo, temos:

int_1^2 (8 y^2 - 4 y^3) d y = [(64)/(3) - 16] - [(8)/(3) - 1]

int_1^2 (8 y^2 - 4 y^3) d y = (64)/(3) - 16 - (8)/(3) + 1

int_1^2 (8 y^2 - 4 y^3) d y = (11)/(3)

Portanto, nossa integral dupla será:

∬_D^() y^2 d A = (11)/(3)

Resposta

∬_D^() y^2 d A = (11)/(3)

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