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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 21

Encontre a altura média do paraboloide z   =   x 2   +   y 2 sobre o quadrado 0   ≤   x   ≤   2 ,   0   ≤   y   ≤   2 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Para o valor médio temos que:

1 b - a ∫ a b 1 d - c ∫ c d f x , y d y   d x

Assim:

1 2 - 0 ∫ 0 2 1 2 - 0 ∫ 0 2 z x , y d x   d y

1 4 ∫ 0 2 ∫ 0 2 x 2 + y 2   d x   d y

Passo 2

1 4 ∫ 0 2 1 3 x 3 + y 2 x 0 2 d y

1 4 ∫ 0 2 2 3 3 + 2 y 2 d y

1 4 2 3 3 y + 2 3 y 3 0 2

1 4 2 4 3 + 2 4 3

1 4 2 5 3

2 3 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla ∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A D = - a , a × - b , b
Determine o volume do sólido dado.Abaixo do plano x - 2 y + z = 1 e acima da região limitada por x + y = 1 e x 2 + y = 1 .
Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil ∬ D y d A D é limitada por y = x - 2 , x
Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. ∬ D x y d A D é limitada pelas retas y = x 2 , y = 3 x
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla ∬ D x + 2 d A D = x , y | 0 ≤ y ≤ 9 - x 2