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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 19

Encontre o valor médio de ƒ(x, y) = s e n   ( x   +   y ) sobre:

  1. o retângulo 0   ≤   x   ≤ π ,   0   ≤   y   ≤ π

b) o retângulo 0   ≤   x   ≤ π ,   0   ≤   y   ≤ π 2 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos a integral:

∫ a b f x d x

O valor médio nos diz que:

1 b - a ∫ a b f x d x

Logo

1 b - a ∫ a b f x d x       é   v a l o r   m é d i o   d e   ∫ a b f x d x

Passo 2

Dito isso:

1 π - 0 ∫ 0 π 1 π - 0 ∫ 0 π s e n x + y   d y   d x

1 π 2 ∫ 0 π - cos ⁡ x + y 0 π   d x

1 π 2 ∫ 0 π - cos ⁡ x + π + cos ⁡ x   d x

1 π 2 [ - s e n x + π + s e n ( x ) )   0 π  

1 π 2 0 + 0 = 0

Passo 3

Para b:

1 π ∫ 0 π 1 π 2 ∫ 0 π 2 s e n x + y d y   d x

1 π 2 2 ∫ 0 π - cos ⁡ x + y 0 π 2 d x

1 π 2 2 ∫ 0 π - cos ⁡ x + π 2 + cos ⁡ x d x

1 π 2 2 - s e n x + π 2 + s e n x 0 π

1 π 2 2 - s e n π + π 2 + s e n π - - s e n π 2 + s e n 0  

1 π 2 2 ( 1 + 0 - - 1

1 π 2 2 2

4 π 2

Resposta

a = 0

b = 4 π 2

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Encontre o valor médio de f na região D . f x , y = x y , D é o triângulo com vértices 0,0 , ( 1,0 ) e ( 1,3 ) .
Encontre o valor médio de f na região D . f x , y = xs e ny , D é delimitado pelas curvas y = 0 , y = x 2 e x = 1 .
No cálculo de uma integral dupla sobre uma região D , obtivemos uma soma de integrais iteradas como a que segue: ∬ D f x , yd A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 y f x , yd xd y + ∫ 1 3 ∫ 0 3 - y f x , yd xd y Esboce a r
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla ∬ D 2 x + 3 y d A D é o retângulo 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b
Desenhe um exemplo de uma região que seja Tanto do tipo I quanto do tipo II;Nem do tipo I nem do tipo II.