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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 19

Calcule a integral iterada.

∫ - 3 3 ∫ 0 π / 2 ( y + y 2 cos ⁡ x ) d x d y

Passo 1

Falaa aí, tudo joia?

Vamos resolver essa integralzinha aí?

Aqui nós vamos precisar calcular a integral dupla:

∫ - 3 3 ∫ 0 π / 2 ( y + y 2 cos ⁡ x ) d x d y

Chamamos de integral iterada porque é calculada sequencialmente, resolvendo uma integral após a outra. Para resolver integrais iteradas, seguimos o procedimento de calcular “de dentro para fora”. Isso significa que começamos com a integral mais interna, a qual está em função de x   na nossa questão.

Primeiro, integramos a função em relação a x . O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de y . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte, permitindo a resolução completa da integral dupla.

Quando a estamos integrando em função de x , consideramos y como constante, e quando estamos integrando em função de y , consideramos x constante.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos lá, pela ordem de integração, a gente vai integrar em x primeiro e depois em y . Lembra que é só manter o y constante aqui😉

∫ - 3 3 ∫ 0 π / 2 ( y + y 2 cos ⁡ x ) d x d y

Resolvendo a integral:

∫ - 3 3 y x + y 2 s e n   x 0 ( π / 2 )   d y

Aplicando os limites de integração:

∫ - 3 3 π 2 y + y 2 s e n π 2 - 0 y + y 2 s e n   0 d y

Simplificando:

∫ - 3 3 π 2 y + y 2   d y

Belezinha, metade do caminho andado!

Passo 3

Vamos integrar em y   agora a partir da última integral ali de cima:

∫ - 3 3 π 2 y + y 2 d y

Resolvendo a integral:

π 2 y 2 2 + y 3 3 - 3 3

Aplicando os limites de integração:

π 2 9 2 + 9 - π 2 9 2 - 9

Fazendo as operações:

∫ - 3 3 ∫ 0 π / 2 ( y + y 2 cos ⁡ x ) d x d y = 18

Prontinho! Integral calculada com...

Resposta

∫ - 3 3 ∫ 0 π / 2 ( y + y 2 cos ⁡ x ) d x d y = 18

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