Calcule a integral iterada.

∫ 1 3 ∫ 1 5 ln ⁡ y x y d y d x

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos calcular essa integral?

Como essa integral que a questão pediu é uma integral dupla, a gente vai ter que integrar duas vezes, seguindo a ordem de integração:

∫ 1 3 ∫ 1 5 ln ⁡ y x y d y d x

Como os diferenciais estão na ordem d y d x , a gente vai primeiro integrar em função de y , com limites de integração 1 e 5 , depois em função de x , com limites 1 e 3 .

Então vamos lá!

Passo 2

Quando a gente integra em função de uma variável, a outra é tratada como constante! Então o primeiro passo dessa integral fica assim:

∫ 1 3 ∫ 1 5 ln ⁡ y x y d y d x =

Podemos tirar o termo 1 x de dentro da primeira integral, porque é constante em função de y !

= ∫ 1 3 1 x ∙ ∫ 1 5 ln ⁡ y y d y d x =

Agora vamos focar só nessa integral dentro dos colchetes. Pra resolver, a gente pode usar uma substituição:

u = ln ⁡ y ⇒ d u = 1 y d y

= ∫ 1 3 1 x ∙ ∫ ln ⁡ 1 ln ⁡ 5 u d u d x =

= ∫ 1 3 1 x ∙ u 2 2 u = 1 u = 5 d x =

= ∫ 1 3 1 x ∙ ln 2 ⁡ 5 2 - ln 2 ⁡ 1 2 d x =

= ∫ 1 3 ln 2 ⁡ 5 2 x   d x  

Assim acabamos de integrar em função de y .

Passo 3

Agora nosso problema vira uma integral simples – basta integrar normalmente em função de x

∫ 1 3 ln 2 ⁡ 5 2 x   d x =

= ln 2 ⁡ 5 2 ∫ 1 3 1 x d x =

= ln 2 ⁡ 5 2 ∙ ln ⁡ x 1 3 =

= ln 2 ⁡ 5 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 =

= 1 2 ln 2 ⁡ 5 ∙ ln ⁡ 3

Prontinho! 😊

Resposta

1 2 ln 2 ⁡ 5 ∙ ln ⁡ 3

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