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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 14

Calcule a integral dupla.

∬_R^() cos ( x + 2 y ) d A , R = {(x , y)| 0 <= x <= pi , 0 <= y <= pi // 2 }

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na forma seguinte:

int_0^(pi // 2) int_0^(pi) cos ( x + 2 y ) d x d y

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^((pi)/(2)) (int_0^(pi) cos (x + 2 y) d x) d y = int_0^((pi)/(2)) ([s e n (x + 2 y)]_0^(pi)) d y = int_0^((pi)/(2)) (s e n (pi + 2 y) - s e n (2 y)) d y

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

int_0^((pi)/(2)) (s e n (pi + 2 y) - s e n (2 y)) d y = [- (cos (pi + 2 y))/(2) + (cos (2 y))/(2)]_0^((pi)/(2)) = (1)/(2) (- cos (2 pi) + cos pi + cos pi - cos 0) = (1)/(2) (- 1 - 1 - 1 - 1) = - 2

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Resposta

- 2

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