Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

26.

Delimitado pelo paraboloide z = x 2 + 3 y 2 e pelos planos x = 0 , y = 1 , y = x , z = 0

Passo 1

Fala, galera!

O enunciado pede pra determinar o volume do sólido delimitado por uma paraboloide e por planos. Moleza?

Que sólido é esse?? Bom, pelas equações que temos, iremos descobrir.

O volume é definido por três eixos ( x ,   y ,   z ) , certo?

Uma função pode ser representada como z = f ( x , y ) . Opa! Temos a nossa fórmula do paraboloide ali bem parecido.

z = x 2 + 3 y 2

Como z = 0 , então encontramos nossa função no plano x y :

x 2 + 3 y 2 = 0

Passo 2

Para encontrar nossos limites de integração, presta atenção aqui!

Podemos representar D como sendo uma região dos dois tipos, ou seja, tem “sombra” tanto no eixo x quanto no y .

Temos que, para o plano z = 0 , basta que analizemos a região delimitada pelos outros planos e calcular a integral normalmente.

Olhando para as equações x = 0 , y = 1 e y = x no plano, temos:

Pela análise do gráfico, podemos escrever D da seguinte forma

D = x , y   0 ≤ x ≤ 1 ,     x ≤ y ≤ 1

Passo 3

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = x y na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A

∫ 0 1 ∫ x 1 x 2 + 3 y 2   d y d x

Agora vamos resolver a integral de dentro, em relação a y :

∫ x 1 x 2 + 3 y 2   d y

y x 2 + y 3 x 1

Substituindo os limites de integração:

[ x 2 + 1 - x 3 + x 3 ]

x 2 + 1 - 2 x 3

Show! Agora vamos integrar em relação a x :

∫ 0 1 x 2 + 1 - 2 x 3 d x

x 3 3 + x - x 4 2 0 1

Substituindo os limites de integração aqui também:

1 3 + 1 - 1 2 - 0

= 2 + 6 - 3 6 = 5 6

Resposta

V = 5 6

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