Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para estimar a coordenada x do ponto de interseção y = x 4 e y = 3 x - x 2 . Se D é a região delimitada por essas duas curvas, estime

∬ D x   d A

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

Primeiro, vamos traçar as curvas y = x 4 e y = 3 x - x 2 em um gráfico, usando uma calculadora gráfica para visualizar melhor os pontos de interseção.

Depois, utilizaremos uma calculadora gráfica para esboçar as curvas y = x 4 e y = 3 x - x 2 e identificar os pontos de interseção. Em seguida, configuraremos a integral dupla para calcular o valor desejado.

O resultado da integração, que nos dará a estimativa do valor da integral dupla ∬ D x   d A .

Fazendo um esboço das curvas:

Passo 2

Após esboçar as curvas, observamos que elas se cruzam nos pontos ( 0,0 ) e ( 1,213 ;   2,168 ) . Portanto, a região D é delimitada por essas duas curvas. Agora, para calcular ∬ D x   d A , expressamos a integral como:

∬ D x   d A = ∫ 0 1,213 ∫ x 4 3 x - x 2 x   d y   d x

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Primeiro, integramos em relação a y , então e, relação a x . Isso nos dá:

∫ 0 1,213 ∫ x 4 3 x - x 2 x   d y   d x = ∫ 0 1,213 x   3 x - x 2 - x 4 d x

= ∫ 0 1,213 3 x 2 - x 3 - x 5 d x

Agora, vamos calcular essa integral. Integramos termo a termo e obtemos:

∫ 0 1,213 x   3 x - x 2 - x 4 d x = x 3 3   - x 4 4   - x 6 6 0 1,213

= 1,213 3 - 1,213 4 4 - 1,213 6 6

Com o auxílio de uma calculadora, calculamos esse valor como sendo aproximadamente 0,713 . Portanto:

∬ D x   d A   0,713

Resposta

∬ D x   d A   0,713

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