Calcule a integral dupla.

∬ R x sec 2 ⁡ y d A ;   R = x , y 0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤ π 4

Passo 1

Fala, pessoal!

Essa questão é bem direta: só calcular a integral!

Pra fazer isso, a gente primeiro vai olhar pra região de integração R , e a partir dela encontrar os limites de integração para x e y .

Com isso, a gente consegue montar a integral iterada, e por fim calculamos.

Passo 2

Bom, nossa região de integração é essa:

R = x , y 0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤ π 4

Ou seja, nossos limites de integração para x e y vão ser:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ π 4

Então a integral iterada fica assim:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 x sec 2 ⁡ y d x d y

Passo 3

Beleza, agora a gente integra primeiro em x , mantendo y constante:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 x sec 2 ⁡ y d x d y =

= ∫ 0 π / 4 x 2 2 sec 2 ⁡ y 0 2 d x d y =

= ∫ 0 π / 4 2 sec 2 ⁡ y d y

Passo 4

Show! Agora a gente integra em y essa última integral, igual uma integral simples!

∫ 0 π / 4 2 sec 2 ⁡ y d y =

Lembra que tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x ? Então:

= 2 tg ⁡ y 0 π / 4

= 2 tg ⁡ π 4 - tg ⁡ 0

= 2 1 - 0 = 2

⇒ ∬ R x sec 2 ⁡ y d A = 2

E... fim!

Resposta

∬ R x sec 2 ⁡ y d A = 2

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